\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
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\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

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% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{20 février 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 3 - Géométrie du plan et de l'espace}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 3 - Géométrie du plan et de l'espace}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Les couples de vecteurs de $\R^2$ suivants sont-ils formés de vecteurs linéairement indépendants ? Forment-ils une base de $\R^2$ ?
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(-1,2)$ et $(3,-5)$
\item $(2,-1)$ et $(-\frac{3}{2},\frac{3}{4})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Les couples de vecteurs de $\R^3$ suivants sont-ils formés de vecteurs linéairement indépendants ? Forment-ils une base de $\R^3$ ?
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(1,-2,1)$ et $(-3,6,-3)$
\item $(3,-1,1)$ et $(6,-2,-2)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Les triplets de vecteurs de $\R^3$ suivants sont-ils formés de vecteurs linéairement indépendants ? Forment-ils une base de $\R^3$ ?
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(1,2,3)$, $(-1,1,1)$ et $(0,1,-1)$
\item $(1,2,3)$, $(-1,1,1)$ et $(0,3,4)$
\item $(1,-1,3)$, $(-2,1,6)$ et $(0,0,1)$
\item $(1,-1,3)$, $(1,-1,0)$ et $(0,0,1)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item\label{q1} Les vecteurs $\vv{e_1} = (-1,1)$ et $\vv{e_2} = (1,1)$ forment-ils une base de $\R^2$ ?
\item\label{q2} Si oui, déterminer les coordonnées cartésiennes du point $A = (3,4)$ dans le repère $(O,\vv{e_1},\vv{e_2})$, où $O=(0,0)$.
\end{enumerate}
\item Reprendre les questions \ref{q1} et \ref{q2} avec $\vv{e'_1}=(2,-1)$ et $\vv{e'_2}=(-\frac{3}{2},\frac{3}{4})$.
\item \begin{enumerate}
\item Les vecteurs $\vv{e_1}=(1,1,0)$, $\vv{e_2}=(0,1,1)$ et $\vv{e_3}=(1,0,1)$ forment-ils une base de $\R^3$ ?
\item Si oui, déterminer les coordonnées cartésiennes du vecteur $\vv{u}=(-4,-3,2)$ dans la base $(\vv{e_1},\vv{e_2},\vv{e_3})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé $(O,\vv{i},\vv{j})$, on considère les deux vecteurs $\vv{u}=2\vv{i}-\vv{j}$ et $\vv{v}=\vv{i}-2\vv{j}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\Norm{\vv{u}}$, $\Norm{\vv{v}}$ et le produit scalaire $u\cdot v$.
\item Calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur $\vv{u}+\vv{v}$.
\item Représenter le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, ainsi que $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{u}+\vv{v}$.
\item Déterminer les deux vecteurs unitaires orthogonaux à $\vv{u}$ et les représenter.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans l'espace euclidien muni d'un repère orthonormé $(O,\vv{i},\vv{j},\vv{k})$, on consi\-dère les trois vecteurs $\vv{u}=\vv{i}+\vv{j}+\vv{k}$, $\vv{v}=2\vv{i}-\vv{j}+2\vv{k}$ et $\vv{w}=-2\vv{k}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\Norm{\vv{u}}$, $\Norm{\vv{v}}$, $\Norm{\vv{w}}$ et le produit scalaire $u\cdot v$.
\item Représenter le repère $(O,\vv{i},\vv{j},\vv{k})$, ainsi que $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$.
\item Calculer les produits vectoriels suivants et représenter les vecteurs correspondants dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j},\vv{k})$.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\vv{u} \wedge \vv{v}$
\item $\vv{v} \wedge \vv{u}$
\item $(\vv{u} \wedge \vv{v})\wedge \vv{w}$
\item $\vv{u} \wedge (\vv{v} \wedge \vv{w})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Calculer le produit mixte $[\vv{u},\vv{v},\vv{w}]$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans le plan euclidien $\R^2$ on considère les points $A=(1,2)$ et $B=(-1,0)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la distance entre $A$ et $B$.
\item Déterminer l'équation de la droite $\Delta$ passant par $A$ et $B$.
\item Déterminer la distance du point $C=(1,1)$ à $\Delta$.
\item Déterminer l'équation de la droite parallèle à $\Delta$ passant par $O$.
\item Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $O$.
\item Déterminer l'aire du parallélogramme de côtés $\vv{OA}$ et $\vv{OB}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans le plan euclidien $\R^2$ on considère le point $A=(5,3)$ et la droite $\Delta$ d'équation cartésienne $x-y+1=0$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la droite parallèle à $\Delta$ passant par $O$.
\item Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $A$.
\item Déterminer la distance de $A$ à $\Delta$.
\item Déterminer la projection orthogonale de $A$ sur $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans l'espace euclidien $\R^3$, on considère le point $A=(-1,1,2)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les équations des plans suivants :
\begin{enumerate}
\item le plan orthogonal au vecteur $\vv{u}=(1,-2,1)$ et passant par $A$,
\item le plan parallèle au plan d'équation $3x-2y+4z-5=0$ et passant par $A$,
\item le plan passant par $A$, $B=(1,2,-1)$ et $C=(3,0,-1)$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la distance du point $D=(1,1,0)$ au plan passant par $A$, $B$ et $C$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A=(1,0,2)$, $B=(0,1,1)$ et $C=(1,-1,0)$ trois points de l'espace euclidien $\R^3$. On note $\Delta$ la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vv{BC}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer un paramétrage de la droite $\Delta$.
\item Déterminer, si elle existe, l'intersection de $\Delta$ avec le plan d'équation $z=0$.
\item Déterminer une équation cartésiennne de $\Delta$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan contenant $\Delta$ et passant par $(0,0,0)$.
\item Déterminer la distance de $D=(1,2,3)$ à la droite $\Delta$.\\
\emph{Indication :} commencer par déterminer l'équation cartésienne du plan orthogonal à $\Delta$ passant par $D$.
\item Calculer le volume du parallélépipède s'appuyant sur les vecteurs $\vv{OA}$, $\vv{OB}$ et $\vv{OC}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés du plan euclidien. On note $H$ le point d'intersection des hauteurs issues de $A$ et de $B$ respectivement dans le triangle $ABC$.
\begin{enumerate}
\item Faire un schéma, et remarquer que $\vv{HA}\cdot \vv{BC}= 0$ et $\vv{HB}\cdot \vv{AC}=0$.
\item Montrer analytiquement que $\vv{HC}\cdot \vv{AB}= 0$. Qu'en conclure ?\\
\emph{Indication :} penser à utiliser la relation de Chasles et les propriétés du produit scalaire.
\end{enumerate}
\end{exo}

% Longueur raisonnable pour deux séances.

% Exo 1 : les élèves n'ont pas forcément vu la notion de base à ce stade (seulement de famille libre) donc il faut définir ce que c'est, ou sauter la question.

% Exo 2 : ne pas faire b.

% Exo 4 : la fin est longue, on peut sauter des calculs de produits vectoriels.

% Exo 5 et 8 : à faire absolument avec des rappels sur les équations de droites et de plans, les projetés orthogonaux et les déterminants. Éventuellement, définir les déterminants de taille 2 et 3.

% Exo 6 et 7 : sautable si on a fait 5 et 8 (permuter éventuellement 7 et 8), mais il serait bien de mettre quelque part une utilisation du produit vectoriel pour déterminer une perpendiculaire si on saute 7.

% Exo 9 : Hors sujet, à supprimer.

\end{document}