\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\bar}{\overline}

% Mise en page
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% Informations document
\author{Corentin Avicou}
\date{13 février 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 2 - Nombres complexes}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 2 - Nombres complexes (suite)}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}\label{rac}
Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[a.]
\item $1+i$,
\item $1+2i$,
\item $i$,
\item $3$,
\item $-3$,
\item $\frac 45 +i \frac 35$,
\item $2e^{i\frac \pi 3}$,
\item $e^{i\frac \pi 3}e^{i\frac \pi 2}$,
\item $-2e^{1+i\frac \pi 3}$,
\item $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$,
\item $\frac{9+2i}{3-2i}$,
\item $\frac{2-5i}{1+i}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Factoriser dans $\R$ et dans $\C$ les trinômes suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a.]
\item $x^2+4x+4$,
\item $x^2-3x$,
\item $x^2-x+5$,
\item $x^2+1$,
\item $5x^2+2x+1$,
\item $3x^2+4x+1$,
\item $6x^2+7$,
\item $\frac 12 x^2+\frac 23x-1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\R$ et dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a.]
\item $x^2+4x+4=0$,
\item $x^2-3x=0$,
\item $x^2-x+5=0$,
\item $x^2+1=0$,
\item $5x^2+2x+1=0$,
\item $3x^2+4x+1=0$,
\item $6x^2+7=0$,
\item $\frac 12 x^2+\frac 23x-1=0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a.]
\item $iz^2+(1-5i)z+6i=0$,
\item $2z^2+(5+i)z+2+2i=0$,
\item $z^2-(3+4i)z+7i-1=0$,
\item $z^2-(3+2i)z+5+5i=0$,
\item $|z|^2-2\overline z=0$
\item $z^2-2\overline z=0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Pour chacun des polynômes de degré $3$ suivants, trouver une racine évidente $z_0$, puis trouver une factorisation de la forme $p(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)$. En déduire les solutions de l'équation $p(z)=0$.
\begin{enumerate}[a.]
\item $ z^3+(1-3i)z^2-(6-i)z+10i$,
\item $ z^3-(7+i)z^2+(18+3i)z-16-2i$,
\item $ z^3-(5+5i)z^2+(3+12i)z+1-7i$,
\item $ z^3-4z^2-3z+2+i(6+3z-3z^2)$,
\item Factoriser dans $\C$ le polynôme $ p(z)=z^4-(3+4i)z^3-(9+i)z^2+(2+14i)z$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer les racines troisièmes des nombres complexes suivants :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}[a.]
\item $1+i$,
\item $i$,
\item $3$,
\item $-3$,
\item $2e^{i\frac \pi 3}$,
\item $e^{i\frac \pi 3}e^{i\frac \pi 2}$,
\item $-2e^{1+i\frac \pi 3}$,
\item $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$,
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Pour lequel des entiers $n$ suivants $2014$, $2015$, $2016$, $2017$ le nombre $(1+i)^n$ est il imaginaire pur ?
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\[ a.\ z^5-z=0\qquad b.\ (1+\sqrt 3)z^4-1+i=0 \qquad c.\ z^6-(3+2i)z^3+2+2i=0.\]
\end{exo}

% Fiche trop longue.
% Préférer l'appelation forme exponentielle à forme trigonométrique, moins source de confusion.

% Commencer par les exos 1 et 6 (4 complexes pour chaque), les racines carrés reviennent dans les autres exos.

% Exo 2 et 3, se limiter à 4 représentatifs.

% Exo 4, virer c,d et e, garder f pour avoir un exemple non polynomial où il faut passer par z=x+iy.

% Exo 5, n'en garder que 2 (ça refait aussi des polynomes de degré 2 comme à l'exo 4).

% Exo 7 trop théorique, à virer.

% Exo 8 Ok, à garder pour la fin.

\end{document}