\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

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\usepackage{enumerate}

% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\bar}{\overline}

% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{06 février 2014}
\title{TMB printemps 2014 - fiche 1 - Nombres complexes}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large{Fiche 1 - Nombres complexes}
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}\label{forme alg}
Simplifier l'écriture des nombres complexes suivants en les mettant sous forme algébrique $a + i b$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a.]
\item $(1 + 3i)\bar{(7-i)}$
\item $\frac{1+2i}{2+i}$
\item $\frac{2+5i}{1-i}$
\item $(2+3i)^3$
\item $e^{i\frac{\pi}{3}}e^{i\frac{\pi}{4}}$
\item $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$
\item $\frac{9+2i}{3-2i}$
\item $\frac{2-5i}{1+i}$
\item $e^{i\frac{\pi}{6}}e^{-i\frac{\pi}{3}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer la norme des nombres complexes de l'exercice \ref{forme alg}.
\end{exo}

\begin{exo}
Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique $re^{i \theta}$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a.]
\item $2e^{i\frac{\pi}{3}}\times 3e^{i\frac{\pi}{4}}$
\item $(1-i)e^{i\frac{\pi}{6}}$
\item $i(\cos(\frac{\pi}{5})+i\sin(\frac{\pi}{5}))$
\item $\bar{7 e^{i\frac{\pi}{4}}}$
\item $-2e^{1+i\frac{\pi}{3}}$
\item $-1+i$
\item $\sqrt{3}+i$
\item $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$
\item $-\sqrt{6}+i\sqrt{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $x$ et $y \in \R$, en utilisant les nombres complexes, démontrer les formules trigonométriques suivantes.
\begin{enumerate}[a.]
\item $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$
\item $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$
\item $4\cos(x)^3-3\cos(x)=\cos(3x)$
\item $\cos(x)^2 = \frac{1}{2}(\cos(2x)+1)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $n \in \N$ et $\theta \in \R$, on note $A = \sum_{k=0}^n \cos(k\theta) = \cos(0)+\cos(\theta)+\dots+\cos(n\theta)$ et $B = \sum_{k=0}^n \sin(k\theta) = \sin(0)+\sin(\theta)+\dots+\sin(n\theta)$. On se propose de calculer $A$ et $B$ à l'aide des nombres complexes. On note $Z = A+iB$.
\begin{enumerate}[a.]
\item Réexprimer $Z$ sous la forme d'une somme d'exponentielles complexes.
\item Calculer $Z$ et en déduire une expression plus simple de $A$ et $B$.
\item Calculer $1+\cos(\frac{\pi}{6})+\dots+\cos(\frac{5\pi}{6})$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Placer les complexes suivants dans un repère orthonormé.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a.]
\item $2i$
\item $2-i$
\item $e^{\frac{2i\pi}{3}}$
\item $1+e^{i\frac{\pi}{3}}$
\item $\cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6})$
\item $\frac{1}{1+i}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer la nature géométriques des sous-ensembles de $\C$ suivants, et tracer ces sous-ensembles.
\newline
\emph{Indication :} pour le \ref{cercle difficile}, mettre l'équation sous la forme $\norm{z-a}^2=r^2$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a.]
\item $\{z \in \C \ | \ z\bar{z} = 4\}$
\item $\{z \in \C \ | \ z+\bar{z} = 1\}$
\item $\{z \in \C \ | \ \norm{z-2}=\norm{z+i}\}$
\item $\{z \in \C \ | \ \arg(z-i)=\frac{\pi}{4}\}$
\item $\{z \in \C\setminus\{1\} \ | \ \Re(\frac{z+1}{z-1})=0\}$
\item\label{cercle difficile} $\{z \in \C \ | \ \norm{z}^2 -2\Re((1-i)z) = -1\}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$ et $B$ des points du plan complexe d'affixes respectives $a$ et $b\in \C$. Dans chacun des cas suivants, calculer l'affixe $z$ du milieu du segment $[AB]$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[a.]
\item $a=0$ et $b=1+i$
\item $a=1$ et $b=i$
\item $a=e^{i\frac{\pi}{6}}$ et $b=e^{i\frac{\pi}{2}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer l'isobarycentre des points du plan complexe $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $1$, $i$, $1+i$ et $-1+i$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $a$ et $b \in \C$, montrer que : $\norm{a+b}^2+\norm{a-b}^2=2(\norm{a}^2+\norm{b}^2)$. Interpréter géométriquement cette égalité, connue sous le nom d'\emph{identité du parallélogramme}.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\alpha \in [0,\frac{\pi}{2}[$.
\begin{enumerate}[a.]
\item\label{q angle au centre} Écrire sous forme trigonométrique le complexe $e^{2i\alpha}+1$.
\item Calculer sa partie réelle et sa partie imaginaire.
\item Placer dans un repère orthonormé les complexes d'affixes $e^{i\alpha}$, $e^{2i\alpha}$, $-1$, $0$ et $1$.
\item Identifier sur le schéma un vecteur d'affixe $e^{2i\alpha}+1$ et interpréter géométriquement le résultat de la question \ref{q angle au centre}. Remarquer qu'on a prouvé le théorème de l'angle au centre.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A,B,C$ et $D$ quatre points du plan complexe d'affixes respectives $a,b,c$ et $d \in \C$. On suppose que $a \neq b$ et $c\neq d$, et on note $z=\frac{b-a}{d-c}$.
\begin{enumerate}[a.]
\item Montrer que les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont orthogonaux si et seulement si $z\in i\R$ (c'est-à-dire $z$ est imaginaire pur).
\item Montrer que $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires si et seulement si $z \in \R$.
\item Dans ce cas, montrer que $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont de même sens si $z>0$ et de sens opposés si $z<0$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $z \in \C \setminus \{1\}$ tel que $\norm{z}=1$.
\begin{enumerate}[a.]
\item\label{q triangle rect} Montrer analytiquement que $\frac{z+1}{z-1}$ est imaginaire pur.
\item Placer les complexes $0$, $1$, $-1$, $z$ et le cercle unité dans un repère orthonormé.
\item Interpréter géométriquement le résultat de la question \ref{q triangle rect} et retrouver un résultat classique sur les triangles inscrits dans un cercle ayant un diamètre pour côté.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A,B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe, d'affixes respectives $a,b$ et $c \in \C$. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si $\frac{c-a}{b-a}$ est égal à $e^{i\frac{\pi}{3}}$ ou à $e^{-i\frac{\pi}{3}}$.
\end{exo}

% Fiche beaucoup trop longue, surtout qu'il y aussi la fiche 2 sur les complexes.
% Préférer l'appelation forme exponentielle à forme trigonométrique, moins source de confusion.

% Pour la prochaine fois, commencer par l'exo 2 sur les normes puis 1 puis 3, en se limitant à 4 ou 5 complexes représentatifs pour chaque.

% Exo 4 pas indispensable, peut-être en se limitant à a et b.

% Exo 5 à virer, trop dur, trop théorique.

% Exo 6 Ok.

% Exo 7 se limiter à a,b et c, les autres sont trop durs.

% Exo 8 bien insister sur l'arc moitié dans le c.

% Exo 9 à virer, cause de longues discussions car les élèves ne connaissent pas les barycentres.

% Exo 10,13 et 14 à virer, trop théoriques

% Exo 11 Ok car fait pratiquer la factorisation par l'arc moitié, virer le b et le faire vite

% Exo 12 important
\end{document}