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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
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\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

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\newcommand{\rgu}{''}

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\renewcommand{\geq}{\geqslant}
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% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{11 avril 2014}
\title{TMB printemps 2014 - DM4 - Fonctions réelles}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\Large Devoir Maison 4

\normalsize À rendre le 24/04/2014 (le 22/04/14 pour le groupe A)
\end{center}

\smallskip

Soit la fonction réelle $f: x \mapsto 2x+\frac{1}{x}-\ln(x+2)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$, en justifiant soigneusement.
\item Justifier que $f$ est continue et dérivable sur $D_f$. La dérivée est-elle continue ?
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout $x \in D_f$. On simplifiera l'écriture de $f'$ pour l'écrire sous la forme d'un quotient de deux polynômes de degré $3$: $f' = \frac{P}{Q}$.
\item Factoriser le polynôme $P$. On notera $x_0$ la racine évidente, et $x_1$ et $x_2$ les deux autres, avec $x_1 < x_2$.
\item Dresser le tableau de signes de $f'$, en prenant soin de placer les points particuliers dans le bon ordre.
\item En déduire le tableau de variations de $f$. On donnera également la valeur de $f(x_0)$ et les limites éventuelles de $f$ au bord de son domaine de définition. Les valeurs exactes de $f(x_1)$ et $f(x_2)$ ne sont pas demandées.
\item Montrer que $\frac{f(x)}{x}$ tend vers une limite réelle $l$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. En déduire l'existence d'une direction asymptotique pour $f$. Déterminer la limite de $f(x) - lx$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
\item Tracer le graphe de $f$ en faisant apparaître les valeurs et tangentes importantes.
\item À l'aide du tableau de variations et du graphe de $f$, discuter le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ d'inconnue $x$ en fonction de la valeur de $k\in \R$.
\end{enumerate}
\end{document}