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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
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\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
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\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

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\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{23 mars 2014}
\title{TMB printemps 2014 - DM3 - Algèbre linéaire}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\Large Devoir Maison 3

\normalsize À rendre le 10/04/2014 (le 08/04/14 pour le groupe A)
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
On considère l'application $f : \R^3 \to \R^2$, $(x,y,z) \mapsto (-x-y-z,2x+2y+2z)$, et la matrice $B = \begin{pmatrix}1 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,3}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est linéaire.
\item Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques de $\R^3$ et $\R^2$, notée $A$.
\item Soient $u$ et $v \in \R$, déterminer les solutions du système linéaire $f(x,y,z)=(u,v)$ d'inconnue $(x,y,z)\in \R^3$. On pensera à distinguer des cas selon les valeurs de $(u,v)$.
\item Calculer le déterminant de $B$. $B$ est-elle inversible ?
\item Si oui, déterminer son inverse : $B^{-1}$, et le déterminant de celui-ci.
\item Soit $g : \R^3 \to \R^3$ l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique de $\R^3$ est $B$. Quelles sont la ou les applications composées que l'on peut former à partir de $f$ et $g$ ? Déterminer la matrice de chacune de ces composées dans les bases canoniques des espaces concernés.
\end{enumerate}
\end{exo}

\vspace{2cm}
\hrule
\vspace{2cm}

\begin{center}
\Large Devoir Maison 3

\normalsize À rendre le 10/04/2014 (le 08/04/14 pour le groupe A)
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
On considère l'application $f : \R^3 \to \R^2$, $(x,y,z) \mapsto (-x-y-z,2x+2y+2z)$, et la matrice $B = \begin{pmatrix}1 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,3}(\R)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est linéaire.
\item Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques de $\R^3$ et $\R^2$, notée $A$.
\item Soient $u$ et $v \in \R$, déterminer les solutions du système linéaire $f(x,y,z)=(u,v)$ d'inconnue $(x,y,z)\in \R^3$. On pensera à distinguer des cas selon les valeurs de $(u,v)$.
\item Calculer le déterminant de $B$. $B$ est-elle inversible ?
\item Si oui, déterminer son inverse : $B^{-1}$, et le déterminant de celui-ci.
\item Soit $g : \R^3 \to \R^3$ l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique de $\R^3$ est $B$. Quelles sont la ou les applications composées que l'on peut former à partir de $f$ et $g$ ? Déterminer la matrice de chacune de ces composées dans les bases canoniques des espaces concernés.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}