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% Définition des environnements
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% Nouvelles commandes
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{23 février 2014}
\title{TMB printemps 2014 - DM2 Corrigé}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large Devoir Maison 2 - Corrigé
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Commençons par déterminer les racines quatrièmes de l'unité. Ce sont les $e^{i\frac{2k\pi}{4}}=e^{i\frac{k\pi}{2}}$ avec $k \in \{0,1,2,3\}$. On a $e^{0}=1$, $e^{i\frac{\pi}{2}}=i$, $e^{i\frac{2\pi}{2}}=e^{i\pi}=-1$ et $e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i$. Les racines quatrièmes de $1$ sont donc $1$, $i$ ,$-1$ et $-i$.\\
Ensuite $-4 = 4 e^{i\pi}$ et $\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$, donc $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ est une racine quatrième de $-4$. On obtient toutes les autres en multipliant $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ par les racines quatrièmes de $1$ différentes de $1$. On a alors $i\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = e^{i\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$, puis $-\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = e^{i\pi}\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}}$ et finalement $-i\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = e^{i\frac{3\pi}{2}}\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}= \sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}}$.\\
L'ensemble des racines quatrièmes de $-4$ est donc $\{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}, \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}},\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}},\sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}} \}$.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item On obtient les coordonnées de $\vv{AB}$ en soustrayant les coordonnées de $A$ à celles de $B$ : $\vv{AB}=(2-1,3-2,1-3)=(1,1,-2)$. De même on obtient $\vv{AC}=(3-1,1-2,2-3)=(2,-1,-1)$.
\begin{equation*}
\vv{AB}\wedge \vv{AC}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1(-1)- (-1)(-2) \\ (-2)2 - 1(-1) \\ 1(-1)-1\times 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ -4+1 \\ -1-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -3 \\ -3\end{pmatrix}
\end{equation*}
Comme $\vv{AB}\wedge \vv{AC} \neq \vv{0}$, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont libres, donc en particulier $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\item $\vv{AB}\wedge \vv{AC}$ est un vecteur orthogonal au plan engendré par les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$. Il est donc orthogonal au plan $P$. Comme le vecteur $\vv{u}=(1,1,1)=-\frac{1}{3}(\vv{AB}\wedge \vv{AC})$ est parallèle à $\vv{AB}\wedge \vv{AC}$, il est aussi orthogonal à $P$, ainsi qu'à tout plan parallèle à $P$. Les plans parallèles à $P$ sont donc exactement les plans dont une équation cartésienne est de la forme $\vv{u} \cdot (x,y,z) = k$, où $k$ est une constante réelle (différente pour chacun de ces plans).\\
On a $\vv{u} \cdot (x,y,z) =(1,1,1)\cdot(x,y,z)= x+y+z$, donc les plans parallèles à $P$ sont les plans dont une équation cartésienne est de la forme $x+y+z=k$. Pour déterminer l'équation de $P$, il faut déterminer la valeur de la constante $k_P \in \R$ correspondante. Pour cela, on utilise le fait que $A \in P$, ce qui se traduit par $1+2+3=k_P$, c'est-à-dire $k_P=6$. Au final, une équation cartésienne du plan $P$ est : $x+y+z=6$.
\begin{rem}
Toute équation obtenue en multipliant l'équation cartésienne ci-dessus par un réel non nul est également une équation cartésienne de $P$.
\end{rem}
\item D'après ce qu'on vient de dire, comme $P' \parallel P$, une équation cartésienne de $P'$ est de la forme $x+y+z=k_{P'}$, où $k_{P'}$ est un réel à déterminer. Comme $D=(1,1,1) \in P'$, $k_{P'}=1+1+1=3$. Donc $x+y+z=3$ est une équation cartésienne de $P'$, ainsi que toute équation obtenue en multipliant celle-ci par un réel non nul.
\item Les points de $\Delta$ sont les points de l'espace de la forme $D + t (\vv{AB}\wedge \vv{AC})$ avec $t\in \R$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc :\\
$(x(t),y(t),z(t)) = (1,1,1)+t(-3,-3,-3)=(1-3t,1-3t,1-3t)$, où $t$ parcourt $\R$.
\begin{rem}
Une autre représentation paramétrique de $\Delta$ est obtenue en remarquant que $\vv{u}$ est aussi un vecteur directeur de $\Delta$: $(x(t),y(t),z(t))=(1+t,1+t,1+t)$.
\end{rem}
\item Comme $\Delta$ est transverse à $P$, ils s'intersectent selon un point. Soit $t_0 \in \R$ le paramètre du point d'intersection pour le paramétrage de $\Delta$ obtenu ci-dessus. On a $(x(t_0),y(t_0),z(t_0)) \in P$, donc $x(t_0)+y(t_0)+z(t_0)=1-3t_0+1-3t_0+1-3t_0=6$. D'où $3-9t_0=6$, ce qui équivaut à $t_0=-\frac{1}{3}$. Alors $1-3t_0= 1-3(-\frac{1}{3})=2$ et $\Delta \cap P= \{(x(t_0),y(t_0),z(t_0))\}=\{(1-3t_0,1-3t_0,1-3t_0)\}=\{(2,2,2)\}$.
\begin{rem}
On peut utiliser un autre paramétrage de $\Delta$ ou une autre équation cartésienne de $P$. On obtient alors un paramètre $t_1 \in \R$ pour le point d'intersection qui est a priori différent de $t_0$. En revanche, après avoir réinjecté $t_1$ dans le paramétrage on retrouve bien $(2,2,2)$ pour les coordonnées du point d'intersection. C'est heureux, vu que cette intersection ne dépend pas du choix d'un paramétrage pour $\Delta$ ou du choix d'une équation de $P$.
\end{rem}
\item Par définition, le projeté orthogonal de $D$ sur $P$ est l'intersection de $P$ avec la droite orthogonale à $P$ passant par $D$. C'est donc l'unique élément $\Delta \cap P$ que l'on a déterminé à la question précédente. Le projeté orthogonal de $D$ sur $P$ a donc pour coordonnées $(2,2,2)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On munit $\R^3$ d'un repère orthonormé direct et on décompose $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$ dans ce repère : $\vv{u}=(u_1,u_2,u_3)$, $\vv{v}=(v_1,v_2,v_3)$ et $\vv{w}=(w_1,w_2,w_3)$. On calcule ensuite les coordonnées de chacun des membres de l'égalité à prouver.
\begin{align*}
{u}\wedge(\vv{v}\wedge\vv{w}) =& \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix}\wedge \left(\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} v_2w_3 - v_3w_2 \\ v_3w_1 - v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1\end{pmatrix} \\
=& \begin{pmatrix} u_2(v_1w_2-v_2w_1) - u_3(v_3w_1 - v_1w_3) \\ u_3(v_2w_3 - v_3w_2) - u_1(v_1w_2-v_2w_1) \\ u_1(v_3w_1 - v_1w_3) - u_2(v_2w_3 - v_3w_2)\end{pmatrix}\\
=& \begin{pmatrix} u_2v_1w_2 -u_2v_2w_1 - u_3v_3w_1 + u_3v_1w_3 \\ u_3v_2w_3 - u_3v_3w_2 - u_1v_1w_2 + u_1v_2w_1 \\ u_1v_3w_1 - u_1v_1w_3 - u_2v_2w_3 + u_2v_3w_3\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
(\vv{u}\cdot\vv{w})\vv{v}-(\vv{u}\cdot\vv{v})\vv{w} =& (u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3) \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix} - (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) \begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{pmatrix}\\
=& \begin{pmatrix} u_1w_1v_1 + u_2w_2v_1 + u_3w_3v_1 - u_1v_1w_1 - u_2v_2w_1 - u_3v_3w_1 \\ u_1w_1v_2 + u_2w_2v_2 + u_3w_3v_2 - u_1v_1w_2 - u_2v_2w_2 - u_3v_3w_2 \\ u_1w_1v_3 + u_2w_2v_3 + u_3w_3v_3 - u_1v_1w_3 - u_2v_2w_3 - u_3v_3w_3\end{pmatrix}\\
=& \begin{pmatrix} u_2v_1w_2 -u_2v_2w_1 - u_3v_3w_1 + u_3v_1w_3 \\ u_3v_2w_3 - u_3v_3w_2 - u_1v_1w_2 + u_1v_2w_1 \\ u_1v_3w_1 - u_1v_1w_3 - u_2v_2w_3 + u_2v_3w_3\end{pmatrix}
\end{align*}
On en déduit que $\vv{u}\wedge(\vv{v}\wedge\vv{w}) = (\vv{u}\cdot\vv{w})\vv{v}-(\vv{u}\cdot\vv{v})\vv{w}$, ces deux vecteurs ayant les mêmes coordonnées dans un repère de l'espace.
\end{exo}

\end{document}