\documentclass[a4paper,twoside,leqno,12pt]{article}

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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Se}{\mathbb{S}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\bar}{\overline}

% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{23 février 2014}
\title{TMB printemps 2014 - DM2 - Géométrie du plan et de l'espace}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\Large Devoir Maison 2

\normalsize À rendre le 13/03/2014 (le 11/03/14 pour le groupe A)
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
Calculer toutes les racines quatrièmes de $-4$.
\end{exo}

\begin{exo}
Dans l'espace euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points $A= (1,2,3)$, $B= (2,3,1)$, $C= (3,1,2)$ et $D=(1,1,1)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\vv{AB}$, $\vv{AC}$ et $\vv{AB}\wedge \vv{AC}$. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $P'$ parallèle à $P$ et passant par $D$.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vv{AB}\wedge \vv{AC}$.
\item Déterminer l'intersection de $\Delta$ et $P$.
\item En déduire les coordonnées de la projection orthogonale de $D$ sur $P$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$ trois vecteurs de l'espace euclidien orienté $\R^3$, démontrer l'égalité suivante : $\vv{u}\wedge(\vv{v}\wedge\vv{w}) = (\vv{u}\cdot\vv{w})\vv{v}-(\vv{u}\cdot\vv{v})\vv{w}$.\\
\emph{Indication :} munir $\R^3$ d'un repère orthonormé direct, expliciter les coordonnées dans ce repère de chacun des membres de l'égalité et remarquer que ce sont les mêmes.
\end{exo}

\vspace{1cm}
\hrule
\vspace{2cm}

\begin{center}
\Large Devoir Maison 2

\normalsize À rendre le 13/03/2014 (le 11/03/14 pour le groupe A)
\end{center}

\smallskip

\setcounter{exo}{0}

\begin{exo}
Calculer toutes les racines quatrièmes de $-4$.
\end{exo}

\begin{exo}
Dans l'espace euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points $A= (1,2,3)$, $B= (2,3,1)$, $C= (3,1,2)$ et $D=(1,1,1)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\vv{AB}$, $\vv{AC}$ et $\vv{AB}\wedge \vv{AC}$. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
\item Déterminer l'équation cartésienne du plan $P$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.
\item Déterminer l'équation cartésienne du plan $P'$ parallèle à $P$ et passant par $D$.
\item Donner un représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vv{AB}\wedge \vv{AC}$.
\item Déterminer l'intersection de $\Delta$ et $P$.
\item En déduire les coordonnées de la projection orthogonale de $D$ sur $P$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$ trois vecteurs de l'espace euclidien orienté $\R^3$, démontrer l'égalité suivante : $\vv{u}\wedge(\vv{v}\wedge\vv{w}) = (\vv{u}\cdot\vv{w})\vv{v}-(\vv{u}\cdot\vv{v})\vv{w}$.\\
\emph{Indication :} munir $\R^3$ d'un repère orthonormé direct, expliciter les coordonnées dans ce repère de chacun des membres de l'égalité et remarquer que ce sont les mêmes.
\end{exo}

\end{document}