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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}
	
\theoremstyle{remark}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}

% Nouvelles commandes
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\newcommand{\norm}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}

\newcommand{\lgu}{``}
\newcommand{\rgu}{''}

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% Mise en page
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% Informations document
\author{Thomas Letendre}
\date{13 février 2014}
\title{TMB printemps 2014 - DM1 - Nombres complexes}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Techniques mathématiques de base}
\rhead{Printemps 2014}
\lfoot{Licence PCSI}
\rfoot{Université Claude Bernard - Lyon 1}

\begin{center}
\Large Devoir Maison 1 - Corrigé
\end{center}

\smallskip

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item\label{q1} Déterminons d'abord la forme algébrique de  $a$. On commence par multiplier le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur, pour se ramener à une fraction où le dénominateur est réel. Puis on simplifie.
\begin{align*}
a=&\frac{3}{\sqrt{3}+i}=\frac{3(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}=\frac{3\sqrt{3}-3i}{\norm{\sqrt{3}+i}^2}=\frac{3\sqrt{3}-3i}{\sqrt{3}^2 + 1^2}=\frac{3\sqrt{3}-3i}{3+1}\\
=&\frac{3\sqrt{3}-3i}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}i
\end{align*}
Passons à la forme trigonométrique de $a$. Le numérateur est déjà sous forme trigonométrique, vu que c'est un réel positif. Mettons le dénominateur sous forme trigonométrique.\\
Notons $r=\norm{\sqrt{3}+i}$, on a $r^2=\norm{\sqrt{3}+i}^2=\sqrt{3}^2+1=4$. Comme $r$ est positif on a donc $r=2$.\\
Notons maitenant $\theta$ l'argument principal de $\sqrt{3}+i$. (L'argument d'un complexe n'est bien défini qu'à $2\pi$ près, l'argument principal est l'unique argument appartenant à $]-\pi,\pi]$.) On a alors les relations suivantes : $\cos(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta)=\frac{1}{2}$.\\
Comme $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ sont tous les deux positifs, on en déduit que $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$. Or $\frac{\pi}{6}$ est l'unique élément de $[0,\frac{\pi}{2}]$ qui vérifie les conditions précédentes. Donc $\theta = \frac{\pi}{6}$ et $\sqrt{3}+i = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.
Finalement,
\[a = \frac{3}{\sqrt{3}+i}=\frac{3}{2e^{i\frac{\pi}{6}}}=\frac{3}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}.\]
\begin{rem}
Lorsqu'on a un produit ou un quotient à mettre sous forme trigono\-métrique, il est souvent plus simple de mettre chacun des termes sous forme trigonométrique, puis d'effectuer le produit ou le quotient.
\end{rem}
\item Comme $b$ est somme de deux complexes de même module, la méthode générale pour mettre $b$ sous forme trigonométrique est de factoriser l'\emph{arc moitié} (ici $e^{i\frac{\pi}{6}}$), pour faire apparaître un sinus ou un cosinus.
\[b= e^{i\frac{\pi}{3}}-1=e^{i\frac{\pi}{6}}(e^{i\frac{\pi}{6}}-e^{-i\frac{\pi}{6}})=e^{i\frac{\pi}{6}}(2i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right))=2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)ie^{i\frac{\pi}{6}}=ie^{i\frac{\pi}{6}} \]
On utilise ensuite le fait que la forme trigonométrique de $i$ est $e^{i\frac{\pi}{2}}$, et on obtient $b=e^{i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2})}=e^{\frac{2i\pi}{3}}$.
\item On commence par remarquer que $\norm{c}=\norm{\frac{(4+3i)(-2e^{i\frac{\pi}{49}})}{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}}=\frac{\norm{4+3i}\norm{-2e^{i\frac{\pi}{49}}}}{\norm{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}}$. On peut donc calculer la norme de chacun des termes dans cette expression puis en déduire la norme de $c$.
\begin{align*}
\norm{4+3i}=&\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\
\norm{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}=&\sqrt{2}\norm{1+i}=\sqrt{2}\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\sqrt{2}=2\\
\norm{-2e^{i\frac{\pi}{49}}}=&\norm{-2}\norm{e^{i\frac{\pi}{49}}}=2
\end{align*}
D'où, $\norm{c}=\frac{5\times2}{2}=5$.
\begin{rem}
Comme à la question \ref{q1}, il est plus facile de calculer la norme de chacun des termes indépendamment, et d'effectuer les produits et quotients ensuite.
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On rappelle que les polynômes à coefficients réels irréductibles sur $\R$ sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ sans racine réelle. En particulier, un polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle.

Ici on observe que $P(1)=0$. Donc $1$ est racine de $P$ et $X-1$ divise $P$. Écrivons $P$ sous la forme $(X-1)(\alpha X^2+\beta X+\gamma)$ et identifions les coefficients.
\begin{align*}
P =& (X-1)(\alpha X^2+\beta X+\gamma)\\
=&\alpha X^3 + (\beta-\alpha)X^2+(\gamma-\beta)X -\gamma \\
=& X^3+-2X^2+2X-1
\end{align*}
Donc $(\alpha,\beta,\gamma)$ est solution du système :
$\left\{ \begin{aligned} \alpha =& 1\\ \beta-\alpha =& -2 \\ \gamma -\beta =& 2 \\ -\gamma =& -1 \end{aligned}\right. \iff \left\{ \begin{aligned} \alpha =& 1\\ \beta=& -1 \\ \gamma =& 1 \end{aligned}\right.$. Et on a donc $P=(X-1)(X^2-X+1)$.

\begin{rem}
Le système ci-dessus a une solution bien qu'il y ait plus d'équations que d'inconnues. C'est le cas parce que les quatre équations ne sont pas indépendantes. Par exemple la dernière ligne du système s'obtient en sommant terme à terme les trois premières.
\end{rem}

Le polynôme $X-1$ est irréductible, sur $\R$ comme sur $\C$, car il est de degré $1$. Le polynôme $X^2-X+1$ n'est pas irréductible sur $\C$, d'après le théorème de d'Alembert-Gauss. Factorisons ce polynôme sur $\C$. Si on trouve des racines réelles, alors cette factorisation sera aussi une factorisation sur $\R$, sinon c'est que $X^2-X+1$ est déjà irréductible sur $\R$.

Calculons le discriminant: $\Delta = (-1)^2-4 = -3$. Comme $\Delta <0$, on sait que les racines de $X^2-X+1$ sont deux racines non réelles conjuguées. Donc ce polynôme n'a pas de racine réelle, et est irréductible sur $\R$. Ainsi $P=(X-1)(X^2-X+1)$ est la factorisation en irréductibles de $P$ sur $\R$.

Les racines complexes de $X^2-X+1$ sont les complexes conjugués $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$.\\
On a $\norm{1+i\sqrt{3}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$. Par ailleurs, en notant $\theta$ l'argument principal de $1+i\sqrt{3}$, on a $\cos(\theta)=\frac{1}{2}$ et $\sin(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. On en déduit que $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$, car son sinus \emph{et} son cosinus sont positifs. Finalement, $\frac{\pi}{3}$ est l'unique élément de $[0,\frac{\pi}{2}]$ dont le cosinus vaut $\frac{1}{2}$ et le sinus vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Finalement $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}= \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{2}=e^{i\frac{\pi}{3}}$, et $\frac{1-i\sqrt{3}}{2}=\bar{\frac{1+i\sqrt{3}}{2}}=\bar{e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{-i\frac{\pi}{3}}$. Donc on a la factorisation $X^2-X+1 = (X-e^{i\frac{\pi}{3}})(X-e^{-i\frac{\pi}{3}})$, et la factorisation en irréductibles de $P$ sur $\C$ est :
\[P = (X-1)(X-e^{i\frac{\pi}{3}})(X-e^{-i\frac{\pi}{3}}).\]
\end{exo}
\end{document}