\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[english,frenchb]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{multicol}
\usepackage[g]{esvect}
\usepackage{leftidx}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage{enumerate}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\grad}{\vv{\gradient}}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\rot}{\vv{\rotationnel}}
\newcommand{\trans}{\leftidx{^\text{t}}}

\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\gradient}{grad}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\rotationnel}{rot}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2014-2015}\\
  %  Module
  \noindent {Maths III PMI - Analyse \\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no 6} \\ \textsc{Calcul différentiel} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

\begin{document}

\baselineskip=0.6cm
\entete

\section{Dérivées partielles et différentielle}

\begin{exo}
Étudier l'existence de la dérivée de la fonction $f:(x,y)\mapsto xy^2$ suivant le vecteur $v=(1,-2)$ au point $A=(2,1)$. Déterminer sa valeur si elle existe.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\vv{G}:\R^3\to \R^3$ l'application définie par $\vv{G}:(x,y,z)\mapsto (x\,\sin\,y,y\,\sin\,x,z)$. Justifier l'existence et calculer $\Div(\vv{G})$, $\rot(\vv{G})$ et $\grad (\Div (\vv{G}))$.
\end{exo}

%\begin{exo}
%Soit $\vv{F}: \R^2 \to \R^2$ l'application définie par $\vv{F}:(x,y)\mapsto (x^2+y^2) (x \vv{i} + y \vv{j})$.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $\deron{r}{x}$ et $\deron{r}{y}}, où $r:(x,y) \mapsto x^2+y^2$.
%\item Déterminer $\rot(\vv{F})$.
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la continuité, ainsi que l'existence et la continuité des dérivées partielles premières de la fonction suivante:
\begin{equation*}
f(x,y)=
\begin{cases}
x^2,& \text{si } |x|>y,\\
y^2,& \text{si } |x|\leq y.
\end{cases}
\end{equation*}
\end{exo}  

\begin{exo}
Soit $f:\R^2\to \R$ la fonction définie par :
\begin{equation*}
f:(x,y) \mapsto
\begin{cases}
\frac{x^2y-y^3}{x^2+y^2}, & \text{si } (x,y)\neq(0,0),\\
0, &\text{en } (0,0).
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer les dérivées partielles $\deron{f}{x}$ et $\deron{f}{y}$ en $(0,0)$.
\item L'application $f$ est-elle différentiable en $(0,0)$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\R^2 \to \R$ la fonction définie par :
\begin{equation*}
f:(x,y) \mapsto
\begin{cases}
\frac{xy^2}{x^2+y^2}, & \text{si } (x,y)\neq(0,0),\\
0, &\text{en } (0,0).
\end{cases}
\end{equation*}
Montrer que $f$ admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions en $(0,0)$ mais n'y est pas différentiable.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\R$ de dimensions finies et $f: E \to F$ une fonction de classe $C^1$. Dans les cas suivants trouver la dimension de la matrice jacobienne de $f$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est une fonction réelle d'une variable réelle ($E = F = \R$).
\item $f$ est une fonction vectorielle d'une variable réelle ($E =  \R, \ F = \R^p$).
\item $f$ est une fonction réelle d'une variable vectorielle ($E = \R^n, F = \R$).
\item $f$ est une fonction vectorielle d'une variable vectorielle ($E = \R^n, \ F = \R^p$).
\end{enumerate}
À l'aide des coefficients de la matrice jacobienne de $f$, exprimer la différentielle de $f$ en tout point de $E$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : \R \to \R^n$ une fonction dérivable. Quel est le lien entre la dérivée $f'(a)$ de $f$ en $a \in \R$ et sa différentielle au même point $df(a)$ ?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f: \R^n \to \R$ une fonction différentiable. Quel est le lien entre la différentielle de $f$ en $a\in \R^n$ et le gradient de $f$ au même point ?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit une application $f:\R^2\to \R$. On considère les assertions suivantes :
\begin{enumerate}[a.]
\item L'application $f$ est continue en $(0,0)$.
\item Les dérivées partielles $\deron{f}{x}$ et $\deron{f}{y}$ existent et sont continues au voisinage de $(0,0)$.
\item L'application $f$ est différentiable en $(0,0)$.
\end{enumerate}
Rappeler les implications qui sont vraies entre ces propriétés. Montrer que ces implications ne sont pas des équivalences. On pourra utiliser les deux fonctions suivantes :
\begin{align*}
f: (x,y)& \mapsto \left\{
\begin{aligned}
& x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) + y^2 \sin \left(\frac{1}{y}\right) & &\text{si } xy \neq 0,\\
& x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & &\text{si } y=0 \text{ et } x \neq 0,\\
& y^2 \sin\left(\frac{1}{y}\right) & &\text{si } x=0 \text{ et } y \neq 0,\\
& 0 & &\text{en } (0,0),\\
\end{aligned}
\right.
& &\text {et}
& g: (x,y) & \mapsto \left\{
\begin{aligned}
&\frac{xy^2}{x^2+y^2},& &\text{si } (x,y)\neq(0,0),\\
&0, & &\text{en } (0,0).
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:(\R_+)^2 \to\R$, définie par $f:(x,y)\mapsto 2x+5y+x^2(\sqrt{y}+\sqrt{x})$.
\begin{enumerate}
\item En quels points $f$ est-elle continue ?
\item En quels points admet-elle des dérivées partielles ?
\item Sur quel ensemble $f$ est-elle de classe $C^1$ ?
\item En quels points est-elle différentiable ?
\item En quels points admet-elle des dérivées directionnelles ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'application :
\begin{equation*}
f:(x,y) \mapsto
\begin{cases}
xy\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), & \text{si } (x,y)\neq(0,0),\\
0, &\text{en } (0,0).
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ admet des dérivées partielles en tout point de $\R^2$ et les calculer.
\item Montrer que $f$ n'est pas de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^2$.
\item Montrer que $f$ est différentiable au point $(0,0)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\section{Fonctions composées}

\begin{exo}
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leurs matrices jacobiennes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f:(x,y) \mapsto e^{xy} (x+y)$,
\item $g:(x,y,z) \mapsto xy + yz + zx$,
\item $h:(x,y) \mapsto (y\sin x, \cos x)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leurs différentielles.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:(x,y,z) \mapsto \left( \frac{x^2 - z^2}{2}, \sin x \sin y\right)$,
\item $g:(x,y) \mapsto \left(xy, \frac{x^2}{2} + y, \ln(1+x^2)\right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ une fonction différentiable de $\R^2$ dans $\R$. On définit $g : \R_+^* \times \R \to \R$ par :
\[\forall (r,\theta) \in \R_+^* \times \R, \ g(r,\theta) = f(r \cos(\theta),r\sin(\theta)).\] Montrer que $g$ est différentiable et exprimer $\deron{g}{r}$ et $\deron{g}{\theta}$ en fonction des dérivées partielles de $f$.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soit $f:\R^2 \to \R$ différentiable, déterminer la dérivée de $u :x \mapsto f(x,-x)$ et la différentielle de $g : (x,y) \mapsto f(y,x)$.
\item Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, $U$ un ouvert de $E$, et $f: U \to F$ différentiable. Pour tout $a \in U$ et $v \in E$, dériver la fonction $t \mapsto f(a + tv)$ en $t = 0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\gamma : t \mapsto (x(t), y(t))$ une courbe paramétrée de $\R^2$ (i.e. une application d'un intervalle  $I \subset \R$ dans $\R^2$) dérivable en $0$. On suppose que $\gamma(0) = (1,2)$ et $\gamma'(0) = (3,4)$. Soit $f: (x,y) \mapsto e^{xy}$, calculer $(f\circ \gamma)'(0)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $x$ et $y$ deux fonctions dérivables de $\R$ dans $\R$ et $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ de $\R^2$ dans $\R$. Soit $z:t \mapsto f(x(t),y(t))$, déterminer $z'$.\\
Appliquer cette formule aux cas particuliers suivants :
\begin{enumerate}
 \item $f:(x,y) \mapsto x^2+2xy+4y^2$ avec $x:t\mapsto t$ et $y:t\mapsto e^{3t}$.
 \item $f:(x,y) \mapsto xy^2+x^2y$ avec $x:t\mapsto t^2$ et $y:t\mapsto \ln t$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les fonctions $f: \R^2 \to \R$ et $g: \R^3 \to \R^2$ définies par :
\begin{align*}
\forall \ (x,y) \in \R^2,\ f(x,y)& = x^2 - y^2 & &\text{et} & \forall \ (x,y,z) \in \R^3,\ g(x,y,z)& = (x+y+z, x-y+z)
\end{align*}

\begin{enumerate}
\item Soit $h = f \circ g$, expliciter $h$. Montrer que $f$, $g$ et $h$ sont de classe $C^1$ et écrire leurs jacobiennes.
\item Vérifier que $J_h(x,y,z) = J_f(g(x,y,z)) J_g(x,y,z)$, où $J_f$, $J_g$ et $J_h$ désignent les matrices jacobiennes de $f$, $g$ et $h$ respectivement.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\varphi : \R \to \R$ une fonction dérivable. On pose $f : \R^* \times \R \to \R$ définie par :
\begin{equation*}
\forall (x,y) \in \R^* \times \R, \ f(x,y) = \varphi\left( \frac{y}{x} \right).
\end{equation*}
Justifier que la quantité $x \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ a bien du sens pour tout $(x,y) \in \R^* \times \R$, et la calculer.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f : U \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ et ne s'annulant pas. Montrer que l'application inverse $\dfrac{1}{f}$ est aussi de classe $\mathcal{C}^1$ et donner sa différentielle en tout point de $U$.
\end{exo}

\end{document}
