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%---- Dimensions des marges ---
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\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

%---- Style de l'entete -----
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\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2014-2015}\\
  %  Module
  \noindent {Maths III PMI - Analyse \\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no 5} \\ \textsc{Limites et continuité des applications de plusieurs variables} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

\begin{document}

\baselineskip=0.6cm
\entete

\section{Limites}

\begin{exo}
Soient $f:\R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R$ la fonction définie par $f:(x,y) \mapsto \dfrac{2xy - y^2}{x^2 + y^2}$. Pour tout $m \in \R$, étudier la limite en $(0,0)$ de la restriction de $f$ à la droite d'équation $y = mx$. En déduire que $f$ n'a pas de limite à l'origine.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : \R^2 \to \R$ la fonction définie par :
\begin{equation}
f: (x,y) \mapsto \left\{ \begin{aligned}
&\frac{x^2y}{x^4 - 2x^2y + 3 y^2} & &\text{si } (x,y) \neq (0,0),\\
&0 & &\text{si } (x,y)= (0,0).
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\begin{enumerate}
	\item Pour tout $m \in \R$, étudier la limite en $(0,0)$ de la restriction de $f$ à la droite d'équation $y = mx$.
	\item Calculer, si elle existe, la limite à l'origine de la restriction de $f$ à la parabole d'equation $y = x^2$.
	\item Montrer que $f$ n'a pas de limite à l'origine.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $\Omega \subset \R^2$ tel que $(0,0)$ est adhérent à $\Omega$ et $f : \Omega \to \R$. On peut considérer trois types de limites suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[A.]
	\item \label{1}$\displaystyle\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y)$,
	\item \label{2}$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} (\lim_{y\rightarrow 0} f(x,y) )$,
	\item \label{3}$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 0} (\lim_{x\rightarrow 0} f(x,y) )$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
	\item En utilisant les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\left\{(x,y) \in \R^2 \mvert x \neq 0, y \neq 0 \right\}$ par :
	\begin{align*}
	&f : (x,y) \longmapsto \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & &\text{et} & &g : (x,y) \longmapsto \frac{x}{x^2+y^2},
	\end{align*}
	démontrer les propositions ci-dessous.
	\begin{enumerate}
		\item Les limites \eqref{2} et \eqref{3} peuvent exister sans que la limite \ref{1} existe.
		\item Les limites \eqref{2} et \eqref{3} peuvent exister sans être égales.
		\item Une de ces trois limites peut exister sans que les deux autres existent.
	\end{enumerate}
	\item En considérant $h : \left\{(x,y)\in \R^2 \mvert y \neq 0\right\}$ définie par $h: (x,y) \mapsto x \sin\left(\frac{1}{y}\right)$, montrer que les limites \eqref{1} et \eqref{3} peuvent exister sans que la limite \eqref{2} existe.
	\item Montrer que si les limites \eqref{1} et \eqref{2} existent alors elles sont égales.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la limite au point de coordonnées $(0,0)$ de la fonction $f : \left\{(x,y) \in \R^2 \mvert x \neq 0, y \neq 0 \right\} \to \R$ définie par $(x,y) \mapsto \displaystyle\frac{\sin(xy)}{xy}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Pour chacune des fonctions de deux variables suivantes, préciser le domaine de définition et calculer, si elle existe, la limite lorsque $(x,y) \to (0,0)$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
	\item $(x,y) \mapsto \dfrac{\sqrt{\norm{xy}}}{\norm{x}+\norm{y}}$,
	\item $(x,y) \mapsto \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$,
	\item $(x,y) \mapsto \dfrac{x^{\frac{1}{3}}y^2}{x^2+y^2+\norm{x-y}}$,
	\item $(x,y) \mapsto \dfrac{\cos(xy)-1}{x^2+y^2}$,
	\item $(x,y) \mapsto \dfrac{x^2}{y \ln(y-x^2)}$,
	\item $(x,y) \mapsto x^y$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Pour chacune des fonctions $g : \R_+ \times [0,2\pi[ \to \R$ suivantes, calculer (si elle existe) la limite de $g(\rho,\theta)$ lorsque $\rho$ tend vers $0$ à $\theta$ fixé. Préciser si cette limite est indépendante de $\theta$, et si la convergence est uniforme en~$\theta$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $g:(\rho,\theta) \mapsto \dfrac{\rho}{\sin(\theta)+3}$,
	\item \[g:(\rho,\theta) \mapsto \left\{ \begin{aligned} &\rho \ln(\rho \sin(\theta))& &\text{si } \theta \in ]0,\pi[, \\ &0 & &\text{sinon.} \end{aligned} \right.\]
\end{multicols}
\end{enumerate}
Déduire de ce qui précède la limite lorsque $(x,y) \to (0,0)$ de la fonction $f : \R^2 \to \R$ définie par : \[\forall (\rho,\theta) \in \R_+\times[0,2\pi[,\quad f(\rho \cos(\theta),\rho \sin(\theta)) = g(\rho,\theta).\] 
\end{exo}

\begin{exo}
En effectuant un passage en coordonnées polaires, calculer la limite des fonctions suivantes en $(0,0)$, si elle existe.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $f:(x,y) \mapsto \dfrac{y^3}{x^2+y^2}$,
	\item $g:(x,y) \mapsto \dfrac{x^2y^3}{x^4+x^2y^2+y^4}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\alpha \in \R$, étudier les limites lorsque $(x,y) \to (0,0)$ et lorsque $\Norm{(x,y)} \to +\infty$ de la fonction $f:(x,y) \mapsto \dfrac{(x^2+y^2+x+y+1)^\alpha}{x^2+y^2}$.
\end{exo}

\begin{exo}
En effectuant un passage en coordonnées polaires, étudier les limites lorsque $(x,y) \to (0,0)$ et lorsque $\Norm{(x,y)} \to +\infty$ des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $f :(x,y) \mapsto \dfrac{x \arctan(y)}{x^2+y^2+1}$,
	\item $f :(x,y) \mapsto \dfrac{x^2+y^4}{x^4+y^2}$,
	\item $f :(x,y) \mapsto (1+\norm{x}+\norm{y})\sin(y^2)$,
	\item $f :(x,y) \mapsto y e^x + \ln(\norm{y})$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\section{Continuité}

\begin{exo}
Soit $f:(x,y) \mapsto \left\{\begin{aligned}&\dfrac{x^2y}{\sqrt{x^4 + y^2}} & &\text{si }(x,y)\neq (0,0) \\ &0 & &\text{sinon}.\end{aligned}\right.$
\begin{enumerate}
	\item Montrer que la restriction de $f$ à toute droite passant par l'origine est continue à l'origine.
	\item $f$ est-elle continue en $(0,0)$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la continuité des fonctions $f : \R^2 \to \R$ suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item \[f : (x,y) \mapsto \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2} & &\text{si } (x,y) \neq (0,0),\\ &0 & &\text{si } (x,y) = (0,0).\end{aligned}\right.\]
	\item \[f : (x,y) \mapsto \left\{ \begin{aligned} &x^2y & &\text{si } x<y,\\ &y & &\text{sinon} .\end{aligned}\right.\]
	\item \[f : (x,y) \mapsto \left\{ \begin{aligned} &(x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{xy}\right) & &\text{si } xy \neq 0,\\ &0 & &\text{si } xy =0.\end{aligned}\right.\]
	\item \[f : (x,y) \mapsto \left\{ \begin{aligned} &x^4 & &\text{si } x^2<y,\\ &y^2 & &\text{sinon} .\end{aligned}\right.\]
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Sur quelles parties de $\R^2$ les formules suivantes définissent-elles une fonction continue ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $f(x,y)=\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$.
	\item $g(x,y)=\sin\left(\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\right)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
Démontrer que ces deux fonctions se prolongent par continuité au point $(0,0)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : \Omega \to \R$ avec $\Omega \subset \R^2$. Pour tout $k \in \R$, on appelle \emph{ligne de niveau $k$} de $f$ l'ensemble $f^{-1}(\{k\}) = \{(x,y) \in \Omega \mid f(x,y)=k\}$.
Trouver l'ensemble de définition et les lignes de niveaux $0$, $1$, $-1$, $2$ et $3$ des fonctions $f: (x,y) \mapsto \sqrt{x^2+y^2}$, $g: (x,y) \mapsto x^2+y^2$ et $h: (x,y) \mapsto \frac{y}{x}$. Représenter graphiquement ces lignes de niveaux.
\end{exo}

\begin{exo}
Pour chacune des fonctions suivantes tracer les lignes de niveau indiquées :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f: (x,y) \mapsto \frac{x^2+y}{x+y^2}$, pour $k \in \{0,-1\}$,
\item $f: (x,y) \mapsto \frac{xy-x+y}{xy}$, pour $k \in \{1,2\}$,
\item $f: (x,y) \mapsto \frac{x^4+y^4}{8-x^2y^2}$, pour $k =2$,
\item $f: (x,y) \mapsto x-y-\norm{x-y}$, pour $k \in \R$,
\end{multicols}
\end{enumerate}
Pour la dernière question, traiter séparément les cas $k=0$, $k>0$ et $k<0$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $f$ et $g$ de $\R^n$ dans $\R^m$ deux applications continues.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que l'image réciproque $f^{-1}(F)$ d'un fermé $F$ de $\R^m$ est un fermé de $\R^n$.
	\item En déduire que l'image réciproque $f^{-1}(O)$ d'un ouvert $O$ de $\R^m$ est un ouvert de $\R^n$.
	\item Montrer que $\{x\in \R^n , f(x)=g(x)\}$ est un fermé de $\R^n$.
	\item On suppose $m=1$, montrer que $\{x\in \R^n,f(x)\leq g(x)\}$ est un fermé de $\R^n$.
	\item On suppose $m=1$, montrer que $\{x\in \R^n,f(x) < g(x)\}$ est un ouvert de $\R^n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Établir si les fonctions suivantes sont bornées dans $\R^2$ :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $f:(x,y) \mapsto (x+2y^2) \exp(-\norm{xy})$,
\item $f:(x,y) \mapsto \exp(\cos(1+xy))$,
\item $f:(x,y) \mapsto (x^4+y^2)\exp(-x^2-y^4)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $f:\R^n\to \R ^m$ une application continue telle que $\forall (x,y)\in \R^n\times \R^n$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item Montrer que $\forall x\in \R^n$, $\forall n\in\N$, $f(nx)=nf(x)$.
	\item Montrer que $\forall x\in \R^n$, $\forall n\in \Z$, $f(nx)=nf(x)$.
	\item Montrer que $\forall x\in \R^n$, $\forall q\in \Q$, $f(qx)=qf(x)$.
	\item En déduire que $f$ est une application linéaire.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\section{Continuité des applications linéaires}

\begin{exo}[Une forme linéaire non continue]
Soit $E$ l'espace vectoriel des applications continues de $[0;1]$ dans $\R$. Pour $f\in E$, on note $\Norm{f} = \displaystyle \int_{0}^{1} \norm{f(t)} \dx t$ la norme $1$ de $f$.
Pour tout $c\in [0;1]$, on définit une application de $E$ dans $\R$ par $\delta_c : f \mapsto f(c)$. Montrer que $\delta_c$ est une forme linéaire sur $E$ mais qu'elle n'est pas continue.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un espace vectoriel sur lequel toutes les normes sont équivalentes. Soient $\Norm{\cdot}$ une norme sur $E$ et $f$ une forme linéaire sur $E$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $x \in E \longmapsto \Norm{x} + \norm{f(x)}$ définit une norme sur $E$.
	\item En déduire que $f$ est continue.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Norme d'opérateur]
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0;1]$ dans $\R$. Pour $f\in E$, on note $\Norm{f} = \displaystyle \int_{0}^{1} \norm{f(t)} \dx t$ la norme $1$ de $f$. Soit $\mu:E \to E$ définie par : $\forall x\in [0;1]$, $\mu(f)(x)= \displaystyle \int_{0}^{x} f(t)dt$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\mu$ est bien définie et que $\mu$ est une application linéaire continue de $E$ dans lui-même.
	\item Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie par $f_n(t) = n(1-t)^{n-1}$ pour tout $t\in [0;1]$ et $n\in \N^{*}$. Calculer $\Norm{f_n}$ et $\Norm{\mu(f_n)}$ et en déduire la norme triple de $\mu$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On munit $\R[X]$ de la norme $\Norm{\cdot}_{\infty}$, définie pour $P(X)= \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k X^k $ par $\Norm{P}_{\infty}= \max_{0 \leq k \leq n} \norm{a_k}$. Pour $c\in \R$, on définit la forme linéaire suivante sur $\R[X]$ : $\varphi_c : P \mapsto P(c)$. Pour quelles valeurs de $c$ la forme linéaire $\varphi_c$ est-elle continue ? Dans ce cas, déterminer la norme de $\varphi_c$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $d \in \N^*$, montrer qu'il existe $C>0$ tel que pour tout $P \in \R_d[X]$ on ait :
\[P(-1)^2+P'(0)^2+P''(1)^2 \leq C \int_{-1}^1 P(t)^2 \dx t.\] 
\end{exo}

\end{document}