\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[english,francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{multicol}
\usepackage[g]{esvect}
\usepackage{leftidx}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\trans}{\leftidx{^\text{t}}}

\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2014-2015}\\
  %  Module
  \noindent {Maths III PMI - Analyse \\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no 4} \\ \textsc{Topologie des espaces vectoriels normés} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

\begin{document}

\baselineskip=0.6cm
\entete

\section{Ouverts et fermés}

\begin{exo}
Démontrer les affirmations suivantes en utilisant la définition d'un ouvert et d'un fermé.
\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{2}
	\item $]a,b[$ est ouvert dans $\R$ ($a<b$).
	\item $[a,b]$ est fermé dans $\R$ ($a<b$).
	\item $[a,b[$ n'est ni ouvert ni fermé dans $\R$ ($a<b$).
	\item $\{ 1/n \mid n \in \N^* \} \cup \{ 0 \}$ est fermé dans $\R$.
	\item $\{ 1/n \mid n \in \N^* \}$ n'est ni ouvert ni fermé dans $\R$.
	\item Tout ouvert de $\R^n$ est une réunion de boules ouvertes.
	\end{multicols}
	\item Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $\R^n$ contenant une boule ouverte, alors $F=\R^n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer si les ensembles suivantes sont ouverts, fermés ou ni ouverts ni fermés :
\begin{enumerate}
	\item l'intervalle $\{(x,y) \in \R^2 \mid 1 < x < 3, y = 0\}$ dans $\R^2$,
	\item le cercle unité : $\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 = 1\}$,
	\item le disque unité : $\{(x,y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un espace vectoriel normé. On fixe $x_0\in E$ et on définit $f: E \to E$ par $f:u \mapsto x_0+u$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que si $U \subset E$ est une partie ouverte, alors $f(U)$ est aussi une partie ouverte de $E$.
	\item Montrer que si $F \subset E$ est une partie fermée, alors $f(F)$ est aussi une partie fermée de $E$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
	\item Montrer que si $\{ U_i\}_{i=1}^I$ est une famille finie d'ouverts de $\R^n$ alors $\displaystyle \bigcap_{i=1}^I U_i$ est un ouvert de $\R^n$.
	\item Déterminer $\displaystyle \bigcap_{n \in \N^*} \left]-1/n,1/n \right[$ et en déduire
que le résultat précédent ne se généralise pas lorsque l'on considère une famille infinie d'ouverts.
	\item Enoncer (et démontrer) les résultats analogues à ceux qui précèdent concernant l'union d'une famille de fermés.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrer que $\Z$ est une partie fermée de $\R$, une première fois en observant que son complémentaire est ouvert, et une seconde par la caractérisation séquentielle des parties fermées.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Démontrer que l'intérieur d'une boule fermée est la boule ouverte de même rayon.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $(E, \Norm{\cdot})$ un espace vectoriel normé. Pour une partie $X$ de $E$, on note $\mathring{X}$ l'intérieur de $X$. Soient $A$, $B$ deux parties de $E$.
\begin{enumerate}
	\item Si $A \subset B$, montrer que $\mathring{A} \subset \mathring{B}$.
	\item Comparer les ensembles $\mathring{\widehat{A \cap B}}$ et $\mathring{A} \cap \mathring{B}$
	\item Comparer les ensembles $\mathring{\widehat{A \cup B}}$ et $\mathring{A} \cup \mathring{B}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer l'intérieur des ensembles suivants. Déterminer également s'ils sont ouverts, fermés ou ni ouverts ni fermés.
\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{2}
	\item $A=\{(x,y,z)\in \R^3 \mid 0<x^2+y^2+z^2\leq 1\}$.
	\item $B=\left\{\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right)\in \R^2 \mvert n,m \in \N^*\right\}$.
	\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Voisinages]
Soit $P\in\R^n$, on dit qu'une fonction $f$ vérifie une certaine propriété \emph{sur un voisinage de $P$} si cette propriété est satisfaite sur un ouvert contenant $P$.
\begin{enumerate}
	\item Etablir si les fonctions $f:\R\to\R$ suivantes sont positives au voisinage de $0$.
\begin{align*}
f(x)& =\left\{\begin{aligned} &\sin(1/x) & &\text{si } x\neq 0, \\ &1 & &\text{si } x=0, \end{aligned}\right. & &\text{et} & g(x)& =\left\{\begin{aligned} &1+x\sin(1/x) & &\text{si } x\neq 0, \\ &1 & &\text{si } x=0. \end{aligned}\right.
\end{align*}
	\item Etablir si les fonctions $f:\R^2\to\R$ suivantes sont définies au voisinage de $0$.
\begin{align*}
f(x,y)&=\sqrt{x+y}, & &\text{et} & f(x,y)&=\ln(\cos(x^2+y^2)).
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\section{Compacts}

\begin{exo}
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $A,B \subset E$. On définit $A+B=\{a+b \mid (a,b) \in A\times B\}$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que si $A$ est compact et $B$ fermé dans $E$ alors $A+B$ est fermé dans $E$.
	\item Montrer que si $A$ et $B$ sont compactes alors $A+B$ l'est aussi.
	\item Soient $A=\R\times \{0\}$ et $B=\{(x,y) \in \R^2 \mid xy=1\}$. Montrer que $A$ et $B$ sont des fermés de $\R^2$ mais que $A+B$ n'en est pas
un.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $(E,\Norm{\cdot})$ un espace vectoriel normé et $K \subset E$ un compact de $E$. Soit $F$ un fermé de $E$ tel que $F \subset K$. Montrer que $F$ est compact. 
\end{exo}

\end{document}