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%---- Dimensions des marges ---
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\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

%---- Style de l'entete -----
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\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2014-2015}\\
  %  Module
  \noindent {Maths III PMI - Analyse \\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no 3} \\ \textsc{Espaces vectoriels normés} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

\begin{document}

\baselineskip=0.6cm
\entete

\section{Normes et distances}

\begin{exo}[Les normes usuelles de $\R^n$]
On définit sur $\R^n$ les applications suivantes : $\forall x=(x_1,...,x_n) \in \R^n$,
\begin{align*}
\Norm{x}_1 &= \sum_{i=1}^n \norm{x_i}, & \Norm{x}_2 &= \sqrt{\sum_{i=1}^n \norm{x_i}^2}, & \Norm{x}_\infty &= \max_{i=1,...,n} \norm{x_i}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\Norm{\cdot}_1$ et $\Norm{\cdot}_\infty$ sont des normes sur $\R^n$.
	\item On s'intéresse ici à la norme $\Norm{\cdot}_2$ et on se propose de démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour cela, soient $x=(x_1,\dots,x_n) \in \R^n$ et $y=(y_1,\dots,y_n) \in \R^n$, on définit le polynôme de degré 2 :
	\begin{equation*}
	P_{xy} : t \rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^n ( x_i + t y_i )^2.
	\end{equation*}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle condition sur le discriminant de $P_{xy}$ traduit le fait que $P_{xy}$ est toujours à valeurs positives?
		\item En déduire l'inégalité dite de Cauchy-Schwarz : $\norm{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i y_i} \leq \Norm{x}_2 \Norm{y}_2$.
		\item En déduire que $\Norm{\cdot}_2$ vérifie l'inégalité triangulaire et constitue une norme sur $\R^n$.
	\end{enumerate}
	\item Etablir les inégalités suivantes pour tout $x \in \R^n$ :
	\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{3}
		\item $\Norm{x}_\infty \leq \Norm{x}_1 \leq n\Norm{x}_\infty$,
		\item $\Norm{x}_\infty \leq \Norm{x}_2 \leq \sqrt{n} \Norm{x}_\infty$,
		\item $\Norm{x}_2 \leq \Norm{x}_1 \leq \sqrt{n} \Norm{x}_2$.
	\end{multicols}
	\end{enumerate}
	En conclure que les trois normes étudiées sont équivalentes.
	\item Représenter dans $\R^2$ les boules centrées à l'origine et de rayon $1$ pour chacune des
trois normes ci-dessus.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les applications suivantes :
\begin{align*}
N_1 :\ &\R^2 & &\longrightarrow & &\R & \qquad &\text{et} \qquad & N_2 :\ &\R^2 & &\longrightarrow & &\R \\ &(x_1,x_2) & &\longmapsto & &\norm{x_1+x_2}+\norm{x_1} & & & & (x_1,x_2) & &\longmapsto & &\max(\norm{x_1+3x_2},\norm{x_1-x_2}).
\end{align*}
\begin{enumerate}
	\item Vérifier que chacune de ces applications définit une norme.
	\item Tracer la boule unité autour de l'origine pour $N_1$ et pour $N_2$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c &d \end{pmatrix}$ pour que l'application
\[\begin{array}{lllll} N_A&:&\R^2&\longrightarrow &\R \\ & & (x_1,x_2) &\longmapsto & \norm{ax_1+bx_2}+\norm {cx_1+dx_2}\end{array}\]
définisse une norme sur $\R^2$.
\end{exo}

\begin{exo}
Les applications suivantes sont-elles des normes ?
\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{2}
		\item $N : \mathcal{C}(\R,\R) \rightarrow \R$, $f \mapsto \displaystyle \sup_{x \in \R} \norm{f(x)}$
		\item $N : \mathcal{C}([0;1],\R) \rightarrow \R$, $f \mapsto \displaystyle \sup_{x \in [0;1]} \norm{f(x)}^2$
		\item $N : \mathcal{C}([0;1],\R) \rightarrow \R$, $f \mapsto \displaystyle \sup_{x \in \left[0;\frac{1}{2} \right]} \norm{f(x)}$ 
		\item $N : \mathcal{C}([0;1], \R) \rightarrow \R$, $f \mapsto \displaystyle \sup_{x \in [0;1]} \norm{f(x)}$
		\item $N : \mathcal{C}([0;2\pi],\R) \rightarrow \R$, $ f \mapsto \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \norm{f(t) \sin(t)} \dx t$
		\item $N : \mathcal{C}([0;1],\R) \rightarrow \R$, $ f \mapsto \displaystyle \int_{0}^{1} \norm{f(t)} \dx t$
		\item $N : \mathcal{C}([0;1],\R) \rightarrow \R$, $ f \mapsto \displaystyle \norm{\int_{0}^{1} f(t) \dx t}$
		\item $N : \R^2 \rightarrow \R$, $(x,y) \mapsto \left(\sqrt{\norm{x}} + \sqrt{\norm{y}}\right)^2$
	\end{multicols}
	\item $N : \mathcal{C}_b(\R,\R) \rightarrow \R$, $f \mapsto \displaystyle \sup_{x \in \R} \norm{f(x)}$, où $\mathcal{C}_b(\R,\R)$ désigne l'espace vectoriel des fonctions continues et bornées de $\R$ dans $\R$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Pour tout $f \in \mathcal{C}([0;1],\R)$, on définit :
\begin{align*}
\Norm{f}_1 &= \int_{0}^1 \norm{f(t)} \dx t, & \Norm{f}_2 &= \sqrt{\int_0^1 f(t)^2 \dx t}, & &\text{et} & \Norm{f}_{\infty} &= \sup_{t \in [0;1]} \norm{f(t)}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
	\item On a vu dans l'exercice précédent que $\Norm{\cdot}_1$ et $\Norm{\cdot}_{\infty}$ sont des normes sur $\mathcal{C}([0;1],\R)$. Montrer que $\Norm{\cdot}_2$ aussi.
	\item Montrer que pour tout $f \in \mathcal{C}([0;1] ,\R)$, on a $ \Norm{f}_1 \leq \Norm{f}_2 \leq \Norm{f}_{\infty}$, mais que ces trois normes ne sont pas équivalentes. \emph{Indication :} on pourra considérer les fonctions $f_n : x \mapsto x^n$, pour tout $n \in \N$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un espace vectoriel. Pour $x,y \in E$ on définit :
\[d(x,y) = \left\{ \begin{aligned} &0 & &\text{si } x =y,\\ &1 & &\text{sinon.}\end{aligned} \right.\]
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $d(\cdot,\cdot)$ définit une distance.
    \item Montrer que cette distance n'est induite par aucune norme.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Métriques et espaces vectoriels normés]
Soit $d$ l'application définie par :
\begin{equation*}
\begin{array}{llll}
d:& \R \times \R & \longrightarrow & \R \\
 & (x,y) & \longmapsto & \norm{\frac{x}{1+\norm{x}}-\frac{y}{1+\norm{y}}}.
\end{array}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $d$ est une distance sur $\R$.
	\item La distance est-elle induite par une norme?
	\item On munit $\R$ de la distance $d$. Montrer que $\R$ est borné. Calculer son diamètre. On rappelle que le diamètre d'une partie $A \in \R^n$ bornée est défini par : $\diam(A)=\displaystyle \sup_{(x,y) \in A \times A} d(x,y)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n \in \N^*$, si on note $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$, on notera $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ ses coefficients. On définit une application $N_\infty$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$ par $N_\infty : A \longmapsto \displaystyle \max_{1\leq i,j \leq n} \norm{a_{ij}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $N_\infty$ définit une norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$.
\item Montrer que pour tout $A$ et $B \in \mathcal{M}_n(\R)$ on a  : $N_\infty(AB) \leq n N_\infty(A) N_\infty(B)$.
\item Soit $N$ une norme quelconque sur $\mathcal{M}_n(\R)$, montrer qu'il existe $c>0$ tel que : 
\[\forall \ A, B \in \mathcal{M}_n(\R), \quad N(AB) \leq c N(A) N(B).\]
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n \in \N$ et $E = \R_n[X]$ l'espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal à $n$. Montrer qu'il existe $\lambda >0$ tel que :
\[\forall \ P \in E, \quad \int_0^1 \norm{P(t)}\dx t \geq \lambda \sup_{t \in [0;1]}\norm{P(t)}.\]
\end{exo}


\section{Suites et séries d'éléments d'un espace vectoriel normé}

\begin{exo}
Soient $(E,\Norm{\cdot})$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n \in \N}$ une suite convergente d'éléments de $E$. Montrer que l'ensemble $\{x_n \mid n \in \N\}$ est borné.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $n\in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice antisymétrique. On suppose que la suite $(A^k)_{k\in \N}$ des puissances de $A$ converge dans $\mathcal{M}_n(\R)$ vers une matrice $B$. Que dire de $B$ ?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $(E,\Norm{\cdot})$ une espace vectoriel normé de dimension finie. Une application $f:E \to E$ est dite \emph{contractante} si il existe $k \in [0;1[$ tel que : $\forall \ x,y \in E$, $\Norm{f(x)-f(y)}\leq k \Norm{x-y}$.
\begin{enumerate}
\item Soient $f:E \to E$ une application contractante et $x_0 \in E$. On définit par récurrence une suite $(x_n)_{n\in \N}$ de premier terme $x_0$ par : $\forall \ n \in \N$, $x_{n+1}=f(x_n)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la série $\sum (x_{n+1}-x_n)$ converge dans $E$.
\item En déduire que $f$ admet un point fixe et que celui-ci est unique.
\end{enumerate}
\item Soit $f:E\to E$, montrer que s'il existe $p \in \N^*$ tel que $f^p$ soit contractante alors $f$ admet encore un unique point fixe.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
