\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[english,francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{multicol}
\usepackage[g]{esvect}
\usepackage{leftidx}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}

%---- Dimensions des marges ---
\setlength{\paperwidth}{21cm}
\setlength{\paperheight}{29.7cm}
\setlength{\evensidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.7cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\headsep}{0.7cm}
\setlength{\headheight}{1cm}
\setlength{\textheight}{25.5cm}
\setlength{\textwidth}{17.3cm}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\dx}{\dmesure\!}
\newcommand{\intg}{[\![}
\newcommand{\intd}{]\!]}
\newcommand{\mvert}{\mathrel{}\middle|\mathrel{}}
\newcommand{\norm}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{\Norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand{\prsc}[2]{\left\langle #1\,, #2 \right\rangle}
\newcommand{\trans}{\leftidx{^\text{t}}}

\DeclareMathOperator{\dmesure}{d}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\vect}{Vect}

\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2014-2015}\\
  %  Module
  \noindent {Maths III PMI - Analyse \\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no 2} \\ \textsc{Séries numériques} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

\begin{document}

\baselineskip=0.6cm
\entete

\section{Quelques séries simples}

\begin{exo}
Calculer les sommes suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \left( -\dfrac{1}{2}\right)^n$,
	\item \label{2} $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n!}$,
	\item \label{3} $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\emph{Indication :} utiliser Taylor-Lagrange entre $0$ et $1$, pour $\exp$ dans \ref{2}, et pour $x \mapsto -\ln(1+x)$ dans \ref{3}.
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la convergence des séries $\displaystyle \sum \dfrac{n^2}{n^2+1}$, et $\displaystyle \sum \left(1-\dfrac{1}{n} \right)^n$.
\end{exo}


\section{Séries à termes positifs}

\begin{exo}
Étudier la convergence de la série de terme général $u_n$ dans les cas suivants :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
	\item $u_n=\dfrac{n+1}{n^3-7}$,
	\item $u_n=\dfrac{n+1}{n^2-7}$,
	\item $u_n=\dfrac{n+1}{n-7}$,
	\item $u_n=\sin\left( \dfrac{1}{n^2}\right)$,
	\item $u_n=\dfrac{2^n+3^n}{n^2+5^n}$,  
	\item $u_n=\dfrac{1}{n^{(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}}$, 
	\item $u_n=\dfrac{1}{ \ln(n^2+2)}$,
	\item $u_n=\dfrac{\ln(n)}{n^{\frac{3}{2}}}$, 
	\item $u_n=\dfrac{n}{2^n}$,
	\item $u_n=\dfrac{n^{100 \; 000}}{2^n}$,
	\item $u_n=\dfrac{1}{n!}$,
	\item $u_n=\dfrac{n^{100 \; 000}}{n!}$,
	\item $u_n=\dfrac{2^n}{n!}$,
	\item $u_n=\frac{4^{n+1}((n+1)!)^2}{(2n)!}$,
	\item $u_n=\left( \sin\left(\dfrac{1}{n} \right)\right)^n$,
	\item $u_n=\left(1-\dfrac{1}{n} \right)^{n^2}$,
	\item $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n^2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
	\item Trouver une primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x \ln^3(x)}$. 
	\item Montrer que pour $a >1$, l'intégrale impropre $\displaystyle \int_a^{+\infty} \dfrac{\dx x}{x \ln^3(x)}$ est convergente.
	\item On pose $u_n=\dfrac{1}{n \ln^3(n)}$ pour $n \geq 2$. Montrer que la série $\sum u_n$ converge.
	\item Donner un encadrement de $R_n$, le reste d'ordre $n$ de $\sum u_n$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer la nature et la somme de la série $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{3n-2}{n^3+3n^2+2n}$.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
	\item Soit $n \in \N$, on pose $u_n=\sqrt{n}2^{-n}$, et $v_n=u_{n}-u_{n+1}$. Montrer qu'il existe $\alpha \in \R$ tel que $u_n \sim_{n \rightarrow +\infty} \alpha v_n$.
	\item Trouver un équivalent simple de $R_n=\displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} \sqrt{k} 2^{-k}$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Cas limite de la règle de d'Alembert]
Soit, pour $n\geq 1$ et $a>0$, la suite $u_n=\dfrac{a^n n!}{n^n}$. 
\begin{enumerate}
	\item Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n u_n$ lorsque $a\neq e$.
	\item Lorsque $a=e$, prouver que, pour $n$ assez grand, $u_{n+1}/u_n\geq 1$. Que dire de la nature de la série $\displaystyle \sum_n u_n$?
\end{enumerate}
\end{exo}


\section{Séries à termes quelconques}

\begin{exo}Étudier la convergence de la série de terme général $u_n$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
	\item \begin{multicols}{3}
	\begin{enumerate}
		\item $u_n=(-1)^n \dfrac{n^3}{n!}$,
		\item $u_n=\dfrac{a^n}{n!}$ avec $a \in \C$,
		\item $u_n=na^{n-1}$ avec $a \in \C$,
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
	\item \begin{multicols}{3}
	\begin{enumerate}
		\item $u_n=(-1)^n \dfrac{1}{\ln(n+1)}$,
		\item $u_n=\sin\left( \left(n+\dfrac{1}{n} \right)\pi\right)$,
		\item  $u_n=(-1)^n (\sqrt{1+n}-\sqrt{n})$.
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Une erreur classique]
\begin{enumerate}
	\item Montrer que la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
	\item Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right)$.
	\item Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
	\item Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème d'Abel ou IPP discrète]
On considère deux suites complexes $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$. On s'intéresse à la convergence de la série $\displaystyle \sum_n u_n v_n$. Pour $n\geq 0$, on note $s_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout $(p,q)\in\mathbb N^2$ tel que $p\leq q$, on a :
\[\sum_{k=p}^q u_kv_k=s_qv_q-s_{p-1}v_p+ \sum_{k=p}^{q-1}s_k(v_k-v_{k+1}).\]
	\item Montrer que si la suite $(s_n)_n$ est bornée, et si la suite $(v_n)_n$ est à valeurs
dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\displaystyle \sum_n u_nv_n$ est convergente.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la convergence de la série de terme général $u_n$ dans les deux cas suivants : $u_n=\dfrac{\cos(n)}{n^2}$ et $u_n=\dfrac{\cos(n)}{n}$. Pour l'étude de cette dernière, on pourra utiliser le résultat de l'exercice précédent.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
	\item En linéarisant $\cos^2(n)$, montrer que la série de terme général $u_n=\dfrac{\cos^2(n)}{n}$ diverge.
	\item En utilisant un développement limité, montrer que la série de terme général $u_n=\sqrt{1+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1$, pour $n \geq 1$, diverge.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la convergence de la série de terme général $u_n$ dans les deux cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item $u_n=n \ln\left(1+\dfrac{1}{n} \right) - \cos \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right)$,
	\item $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+(-1)^n \sqrt{n}}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer la somme $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$, où $u_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(n-k)!k!}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer la somme $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$, où $u_n=\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^{n-k}}{k! 2^{n-k}}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Les séries suivantes sont-elles convergentes?
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum \left( \dfrac{1}{n^{3/4}}+\dfrac{\sin(2n)}{n^{3/4}}\right)$,
\item $\displaystyle \sum \left( \dfrac{1}{n^{3/4}}+\dfrac{1-n^{(n-3/4)}}{n^{n}}\right)$,
\item $\displaystyle \sum \left( \sqrt{1+\dfrac{(-1)^n}{n^{3/4}}}-\exp\left( \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n^{3/4}}\right)\right)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}