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\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2014-2015}\\
  %  Module
  \noindent {Maths III PMI - Analyse \\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Feuille d'exercices \no 1} \\ \textsc{Intégrales généralisées} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

\begin{document}

\baselineskip=0.6cm
\entete

\section{Rappels : comparaison locale de fonctions}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
	\item Est-ce que $]-1;0[\cup ]0;1[$ est un voisinage de $0$? un voisinage pointé?
	\item Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions réelles d'une variable réelle définies sur un voisinage pointé de $x_0$ (avec $x_0 \in \R$ ou $x_0$ infini). Démontrer les assertions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item si $g=_{x_0}o(h)$ alors $fg=_{x_0} o(fh)$,
		\item si $f \sim_{x_0}g$ et $h =_{x_0} o(f)$, alors $h=_{x_0}o(g)$,
		\item si $f =_{x_0} o(g)$ et $g =_{x_0} \mathcal{O}(h)$, alors $f =_{x_0} o(h)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f: x \mapsto x^4+\cos(x)+\frac{1}{x}$. Pour les fonctions $g$ suivantes, expliquer si l'on a ou non $f \sim_{+\infty}g$ :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
	\item $g:x \mapsto x^4$,
	\item $g:x \mapsto 2x^4$,
	\item $g:x \mapsto x^4 + 1$,
	\item $g:x \mapsto x^4 + \frac{1}{x}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Vrai ou faux?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
	\item $x\sim_0 0$,
	\item $x^3 =_{+\infty} o(x^3+x^2)$,
	\item $\sin(x)=_{0} x + o(x)$,
	\item $1=_0 \cos(x) + o(x^2)$,
	\item $o(f)+o(f)=_{x_0} o(f)$,
	\item $o(x^2)+o(x)=_0 o(x)$,
	\item $\ln(1+x)-x=_0 o(1)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les limites suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)}$,
	\item $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( \dfrac{2}{\sin^2(x)}-\dfrac{1}{1-\cos(x)} \right)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}


\section{Intégrales généralisées}

\begin{exo}
Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes et calculer éventuellement leur valeur :
\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x} \dx x$ et $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|x|}\dx x$,
	\item $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \dx x$ et $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} \dx x$, discuter du résultat en fonction de la valeur de $\alpha \in \R$,
	\item $\displaystyle \int_0^1 \ln(x)\dx x$ et $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} \dx x$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrer l'énoncé suivant :\\
\emph{Théorème :} Soit $f:[1,+\infty[\to \R_+$ une fonction continue, et soit $g:[0,+\infty[\to \R$ une fonction continue par morceaux. Supposons que $\norm{g} \leq f$. Si l'intégrale $\displaystyle \int_1^{+\infty} f(x) \dx x$ converge, alors l'intégrale impropre $\displaystyle \int_1^{+\infty} g(x) \dx x$ existe également.
\end{exo}

\begin{exo}
Les fonctions suivantes sont-elles absolument intégrables sur les intervalles donnés :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $\displaystyle t \longmapsto \frac{\ln(t)}{t^{1/2}}$ sur $]0;1]$,
	\item $\displaystyle x \longmapsto \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}$ sur $]0;+\infty[$,
\end{multicols}
	\item $x \longmapsto x^{a-1} e^{-x}$ sur $]0;+\infty[$, pour $a>0$ fixé. On note lorsque cela a un sens $\Gamma(a):= \displaystyle \int_0^{+\infty} x^{a-1} e^{-x} \dx x$. Calculer $\Gamma(n+1)$  pour $n \in \N$.\\
(\emph{Indication :} commencer par prouver que $\forall n \in \N^*$, $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$.)
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrer l'énoncé suivant :\\
\emph{Théorème :} Soit $f:[1,+\infty[\to \R_+$ une fonction continue et décroissante. On a alors l'équivalence suivante :
\begin{align*}
\lim_{N\to \infty}&\sum_{n=1}^N f(n) & &\text{existe} & &\Longleftrightarrow & &\int_1^\infty f(x) \dx x & &\text{converge}.
\end{align*}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a \in \R$ pour que l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{t - \sin t }{t^a} \dx t$ existe.
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer la nature des intégrales suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{\arctan(x)}{x\ln(2+x^2)} \dx x$,
	\item $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-\sqrt t} \dx t$,
	\item $\displaystyle \int_0^1 \frac{\cosh x-\cos x}{x^{5/2}} \dx x$,
	\item $\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x} \sin\left(1/x^2\right)}{\ln(1+x)} \dx x$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que les intégrales impropres suivantes existent:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
	\item $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin(y)}{y}\,\dx y$,
	\item $\displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(x^2) \dx x$ \hspace{1cm} (Intégrale de Fresnel)
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Critère de Cauchy]
Démontrer l'énoncé suivant :\\
\emph{Théorème :} Soit $f:[1,+\infty[\to \R$ une fonction continue. Alors l'intégrale impropre $\displaystyle \int_1^{+\infty} f(x)\,\dx x$ existe si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $R>1$ tel que pour tout $a,b>R$ on a :
\[\norm{\int_1^a f(x) \dx x -\int_1^b f(x) \dx x} = \norm{\int_b^a f(x) \dx x} <\varepsilon.\]
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrons de deux manières différentes que $t \longmapsto \dfrac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable sur $[1;+\infty[$. 
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $t \in \R$, $\norm{\sin t} \geq \sin^2 t$.
		\item Démontrer que l'intégrale $\displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\cos(2t)}{t} \dx t$ est semi-convergente.
		\item En déduire que $t \longmapsto \dfrac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable sur $[1;+\infty[$. 
	\end{enumerate}
	\item En utilisant les séries numériques : 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k \in \N^*$. Calculer $\displaystyle \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \norm{\sin t} \dx t$.
		\item Soit $N \in \N^*$. Montrer que $\displaystyle \int_{\pi}^{N\pi} \dfrac{\norm{\sin t}}{t} \dx t \geq \sum_{k=1}^{N-1} \dfrac{2}{(k+1)\pi}$.
		\item Montrer que pour tout $k \in \N^*$, on a $\ln(k+1)-\ln k \leq \dfrac{1}{k}$. En déduire la limite de $\displaystyle \sum_{k=2}^{N} \dfrac{1}{k}$ lorsque $N \rightarrow +\infty$.
		\item Conclure sur la non intégrabilité de $t \longmapsto \dfrac{\sin t}{t}$ sur $[1; +\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}