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%---- Dimensions des marges ---
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\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

%---- Style de l'entete -----
\setlength{\parindent}{0cm}
\newcommand{\entete}
{
% Lieu - annee
  \noindent {\textbf{Université Claude Bernard - Lyon 1} \hfill Semestre d'automne 2014-2015}\\
  %  Module
  \noindent {Math III - PMI \hfill Durée : 1h30\\}
  % Titre
  \hrule
  \begin{center} \textbf{Partie commune - Devoir numéro 2} \end{center}
  \hrule
  \vspace*{1cm}
}

\begin{document}

\baselineskip=0.6cm
\entete

\emph{Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction;
{\bf toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle}.\\
Le sujet comporte deux parties. {\bf Il est demandé aux candidats de traiter la partie Analyse et la partie Algèbre sur des copies distinctes.} Les exercices sont indépendants.\\
Le sujet étant long, le barème comportera, a priori, plus de 20 points.}

\section{Analyse}

\begin{exo}
Pour tout $n \geq 2$ on pose $u_n = \dfrac{1}{n^2-1}$. Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geq 2} u_n$ converge et calculer la valeur de la somme. \emph{Indication :} penser à décomposer en éléments simples une fraction rationnelle bien choisie.
\end{exo}

\begin{exo}
Pour tout $n \in \N^*$ on pose $u_n = \exp\left(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right) -1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N^*$ on a $u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{2n} + v_n$ avec $v_n = O\!\left(\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\right)$.
\item Pour chacune des séries $\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, $\sum \dfrac{1}{2n}$ et $\sum v_n$, préciser si la série est divergente, absolument convergente ou semi-convergente.
\item Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $ f: \begin{array}[t]{ccc} ]1;+\infty[ & \longrightarrow & \R \\ x & \longmapsto & \frac{1}{x \ln (x)}\end{array}$ et, pour tout $n \geq 2$, $u_n= \dfrac{1}{n \ln(n)}$.
\begin{enumerate}
\item Redémontrer, \emph{sans utiliser le critère de Bertrand}, que l'intégrale impropre $\displaystyle \int_2^{+\infty} f(t) \dx t$ diverge.
\item Montrer que pour tout $n \geq 2$, $u_n \geq \displaystyle \int_n^{n+1} f(t) \dx t \geq u_{n+1}$.
\item En déduire que $\displaystyle \sum_{n \geq 2} u_n$ diverge et que $\displaystyle \sum_{n=2}^N u_n \underset{N \to +\infty}{\sim} \ln \left( \ln(N) \right)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E = \R_d[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $d$. Pour tout $P = \displaystyle \sum_{k=0}^d a_k X^k \in E$ on pose $N_1(P) =\displaystyle \int_0^1 \norm{P(t)} \dx t$ et $N_2(P) = \sqrt{\displaystyle \sum_{k=0}^d a_k^{\ 2}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont des normes sur $E$.
\item Montrer qu'il existe $C>0$ tel que :
\[ \forall \ P \in E, \qquad \sqrt{\sum_{k=0}^d a_k^{\ 2}} \leq C \left(\int_0^1 \norm{P(t)} \dx t \right).\]
\end{enumerate}
\end{exo}

\section{Algèbre}

\begin{exo}
Soient $a,b, c \in \R$. Pour $x \in \R$, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquels la matrice suivante de $\mathcal{M}_4(\R)$ n'est pas inversible~:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ a & x & a+x & 2a+2x \\ a & x & b & a+b+x \\ a & x & b & c \end{pmatrix}.\]
\emph{Indication :} On pourra calculer le déterminant de cette matrice en faisant des opérations élémentaires.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $n \in \N \smallsetminus \{0,1\}$ et $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. On suppose que pour tout $M\in \mathcal{M}_n(\R)$, $\det(A+M)=\det(A)+\det(M)$. Le but de cet exercice est de montrer que $A=0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\det(A)=0$.
\item Par l'absurde, on suppose $A\neq 0$.
\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il existe un vecteur $X_0 \in \mathcal{M}_{n \times 1}(\R)$ non nul tel que $A X_0 \ne 0$.
\item Justifier qu'il existe une matrice $P \in \mathcal{M}_n(\R)$ inversible telle que $P X_0 = -A X_0$. 
\item Montrer que cela conduit à une absurdité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$. On suppose que $u$ est nilpotent (i.e. il existe un entier $k \in \N^*$ tel que $u^k=0$). On se propose de montrer que $u$ possède une unique valeur propre qui est $0$. On pose $p= \min\{ k \in \N^* \mid u^k=0\}$.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on va montrer que $0$ est une valeur propre de $u$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\im(u^{p-1}) \subset \ker(u)$.
\item Justifier que $\im(u^{p-1}) \neq \{0\}$.
\item Déduire de ce qui précède que $0$ est une valeur propre de $u$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on va montrer qu'il ne peut y avoir d'autres valeurs propres que $0$.
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. Montrer que $\lambda^p$ est une valeur propre de $u^p$.
\item En déduire que $\lambda$ est nulle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}