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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

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\begin{document}

\thispagestyle{empty}
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\begin{exo}
Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ définie par : $f : (x;y) \mapsto x^3+y^3-3xy$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout point $(x;y)\in \mathbb{R}^2$, calculer le gradient $\nabla f$ et le laplacien $\Delta f$ de $f$ en $(x;y)$.
\item Déterminer les points critiques de $f$.
\item Quelle est la nature de ces points critiques (maximum, minimum ou point col) ? Justifier soigneusement.
\item La fonction $f$ admet-elle un maximum global ? Admet-elle un minimum global ?
\item Donner le développement de Taylor de $f$ à l'ordre $2$ au point de coordonnées $(-1;2)$.
\item Soit $\gamma : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par la formule : $\gamma (t) = (x(t);y(t))=(t;t^2)$. Calculer la dérivée $\gamma'$ de $\gamma$ en tout point $t \in \mathbb{R}$.
\item En déduire la valeur de $\frac{d(f \circ \gamma)}{dt}$ en tout point $t \in \mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
