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%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\def\S{\mathbb S}
\def\d{{\mathrm{d}}}
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\newcommand{\p}[1]{\frac{\partial\ }{\partial #1}}

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 9 \quad-\quad THEOREMES DE STOKES ET DE GAUSS}
\end{center}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item
Soit $C$ une courbe ferm\'ee et non-intersectante de $\R^2$ et $l : [0,1] \to \R^2$ une param\'etrisation de $C$. On note $D$ le sous-ensemble born\'e de $\R^2$ sous-tendu par $C$. Soit $f : \R^2 \to \R$ une fonction scalaire et $\vec F: \R^2 \to \R^2$ une fonction vectorielle. Ecrire toutes les int\'egrales possibles que vous pouvez d\'efinir avec ces objets.
\item M\^eme question avec $S$ une surface ferm\'ee plong\'ee dans $\R^3$, $B$ son int\'erieur, $\vec \sigma : D \to S$ une param\'etrisation de $S$ (avec $D$ un sous-ensemble de $\R^2$), $f: \R^3 \to \R$ une fonction scalaire et $\vec F:\R^3 \to \R^3$ une fonction vectorielle.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $D$ le disque de rayon $R$ dans $\R^2$, et soit $\vec \sigma : D \to \R^3$ l'application d\'efinie par
$$
D \ni (x,y) \mapsto \vec\sigma(x,y) = (x,y,x^2-y^2) \in \R^3.
$$
V\'erifier le th\'eor\`eme de Stokes pour le champ de vecteurs $\vec V$ d\'efini par $\vec V(x,y,z) = x \ \vec e_1 + y \ \vec e_2 + z \ \vec e_3$.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $S$ la demi-sph\`ere sup\'erieur dans $\R^3$, c'est-\`a-dire $$
S = \big\{(x,y,z)\in \R^3\mid x^2 + y^2 + z^2 =1 \hbox{ et }z\geq 0\big\}.
$$
V\'erifier le th\'eor\`eme de Stokes pour le champ de vecteurs $\vec V$ d\'efini par $\vec V(x,y,z)= \vec e_1 + xz \ \vec e_2 + xy \ \vec e_3$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $S$ la sph\`ere de rayon $R$ dans $\R^3$, c'est-\`a-dire
$$
S = \big\{(x,y,z)\in \R^3\mid x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \big\}.
$$
Calculer le flux de $\vec V$ \`a travers $S$ pour les deux champs de vecteurs suivants :
\begin{enumerate}
\item $\vec V(x,y,z) = x^3 \ \vec e_1 + y^3 \ \vec e_2 + z^3\ \vec e_3$,
\item $\vec V(x,y,z) = x^2 \ \vec e_1 + y^2 \ \vec e_2 + z^2\ \vec e_3$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}