%
%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\def\S{\mathbb S}
\def\d{{\mathrm{d}}}
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\newcommand{\p}[1]{\frac{\partial\ }{\partial #1}}

%\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 8 \quad-\quad THM DE GREEN ET INTEGRALES DE SURFACE DANS $\R^3$}
\end{center}

\begin{exo}
a)
Soit $\vec{U}$ un champ vectoriel sur $\R^2$  d\'efini par $\vec U(x,y)=U_1(x,y)\ \vec{e}_1 + U_2(x,y)\ \vec{e}_2$, avec $U_1(x,y)=2x-y$ et $U_2(x,y)=x+y$. On d\'efinit \'egalement $f$ une fonction scalaire sur $\R^2$ par $f = \partial_1 U_2 - \partial_2 U_1$.
\begin{enumerate}
\item
Calculer la circulation de $\vec{U}$ le long du cercle $\mathcal C$ de centre $(0,0)$ et rayon $R$, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\item
Calculer l'int\'egrale de $f$ sur le disque $D$ de centre $(0,0)$
et rayon $R$, et v\'erifier ainsi le th\'eor\`eme de Green.
\end{enumerate}

b) R\'ealiser le m\^eme travail en consid\'erant le champ vectoriel $\vec U$ d\'efini par les fonctions $U_1(x,y) = 2xy-x^2$ et $U_2(x,y)= x+y^2$, et pour la boucle ferm\'ee $\mathcal C$ constitu\'ee par les deux arcs de parabole $y = x^2$ et $x=y^2$ dans le quart de plan $\big\{(x,y)\in \R^2 \mid x\geq 0, y \geq 0\big\}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit l'ensemble $$D = \left\{ (x,y) \in \R^2\mid \ \displaystyle{
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}} \le 1,\ x \ge 0,\ y \ge 0 \right\}.$$
\begin{enumerate}
\item Dessiner $D$.

\item Calculer de deux fa\c cons diff\'erentes l'int\'egrale
$$I = \int_D (x - y ) \d x \;\d y,$$
\begin{enumerate}
\item en utilisant le changement de variables~:
  $ \left\{ \begin{array}{l}
    x = 2 r\cos (\theta) \\
    y = 3 r\sin (\theta)\;; \end{array}\right.
  $
\item en utilisant la formule de Green-Riemann.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer l'int\'egrale de surface $\int_S f \ dA$, o\`u $S$ est la surface param\'etr\'ee par
$$x= r\cos(\theta),\ \ y = r\sin(\theta), \ \ z= h \theta \quad \hbox{ avec }r \in [0,R], \theta \in [0,\pi] \hbox{ et } h,R>0,
$$
et o\`u $f$ est une fonction scalaire d\'efinie par $f(x,y,z) = xz$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\vec E$ le champ de vecteur dans $\R^3$ d\'efini par
$\vec E(x,y,z)=y^2 \ \vec e_1 + z \ \vec e_2$.
\begin{enumerate}
\item
Calculer la circulation de $\vec E$ le long du segment de droite orient\'e reliant l'origine au point $(1,1,1)$.
\item
Calculer le flux de $\vec E$ \`a travers la surface d\'efinie par
$\big\{(x,y,z)\in \R^3 \mid x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0 \hbox{ et } x+y+z =1\big\}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On rappelle que la sph\`ere de rayon $R$ centr\'ee \`a l'origine est param\'etr\'ee par
$$
[0,2\pi[\ \times\  ]-\pi/2,\pi/2[ \ \ni \ (\theta,\varphi) \mapsto
\big(R\cos(\theta)\cos(\varphi), R\sin(\theta) \cos(\varphi), R\sin(\varphi)\big)\  \in \ \R^3.$$
Soit $\Sigma$ l'intersection de la sph\`ere avec l'ensemble $\big\{(x,y,z)\in \R^3 \mid x\geq
0, y\geq 0, z\geq 0\big\}$, et soit $\vec E(x,y,z) = z \ \vec e_3$ un champ vectoriel sur $\R^3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le flux de $\vec E$ \`a travers $\Sigma$,
\item Calculer la circulation de $\vec E$ le long des bords de $\Sigma$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}