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%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
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\def\S{\mathbb S}
\def\d{{\mathrm{d}}}
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\newcommand{\p}[1]{\frac{\partial\ }{\partial #1}}

%\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 7 \quad-\quad INTEGRALES CURVILIGNES}
\end{center}

\begin{exo}
La {\it spirale logarithmique} est d\'efinie par
l'application
\[
\begin{array}{ccccl}
\vec \ell &:&\R&\longrightarrow&\R^2 \\
 & & t&\longmapsto &
(e^{at}\cos t, e^{at}\sin t).
\end{array}
\]
Dans cet exercice nous supposerons $a\in\R_+^*$.
On posera $x(t)=e^{at}\cos t$ et $y(t)=e^{at}\sin t$.
\begin{enumerate}
\item Dessiner la spirale logarithmique. Pour vous guider,
r\'epondez aux questions suivantes:
\begin{itemize}
\item[1.1] Calculer les valeurs de $t$ pour lesquelles
$x(t)=0$. R\'esoudre la m\^eme question pour $y$.
\item[1.2] D\'eterminer les valeurs de $x'(t)$ et de $y'(t)$ aux valeurs de $t$ trouv\'ees dans le point pr\'ec\'edent.
\item[1.3] D\'eterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles
$x'(t) =0$. M\^eme question pour $y'(t)=0$.
\end{itemize}
\item Calculer la longueur de la courbe entre $\vec \ell(0)$ et $\vec \ell(t)$.
\item Montrer que $\vec \ell(t)\mapsto (0,0)$ quand $t\mapsto -\infty.$
\item Montrer que la longueur de la courbe entre $\vec \ell(0)$ et $\vec \ell(t)$ a une limite   finie quand $t\mapsto -\infty$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On consid\`ere la cyclo\"{\i}de param\'etr\'ee par $\vec \ell(t)=\big( t-\sin(t), 1-\cos(t)\big)$ pour $t \in \R$. Calculer la longueur de la courbe entre $\vec \ell (0)$ et $\vec \ell(2\pi)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\R^2\to \R$ une fonction continue.
Calculer les int\'egrales $\int_\CC f \;\!\d s$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=x^2+y^3$ et $\CC$ est le bord du triangle de sommets $(0,0), (1,0)$
et $(0,1)$,
\item $f(x,y)=x^2+y^2$ et $\CC$ est le cercle de centre $(1,1)$ et de rayon $2$.
\item $f(x,y)=xy$ et $\CC$ est le quart d'ellipse d'\'equation
$\hbox{$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9}$} =1$ situ\'e dans le quart de plan
$\{(x,y)\mid x\geq 0, y\geq 0\}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} Calculer les int\'egrales curvilignes $\int_\CC \vec V \cdot d\vec \ell$ dans les cas suivants, en parcourant toujours les chemins dans le sens positif, c'est-\`a-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :
\begin {enumerate}
\item $\vec V(x,y)= xy^2 \ \vec e_1 + 2xy  \ \vec e_2$ et $\CC$ est le bord du triangle de sommets $(0,0),(1,0)$ et $(0,1)$,
\item $\vec V(x,y)= (y+xy)  \ \vec e_1$ et $\CC$ est la courbe d\'efinie par le graphe de la parabole $y=x^2$ et la portion de la droite $y=x$ avec $0 \leqslant x \leqslant 1$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
a)
Soit $\vec V:\R^2 \to \R^2$ un champ de vecteurs d\'efini pour tout $(x,y) \in \R^2$ par
\begin{equation*}
\vec V(x,y)=2xy  \ \vec e_1 + (x^2 + y^2)  \ \vec e_2\ .
\end{equation*}
Calculer l'int\'egrale de ce champ de vecteurs le long des courbes orient\'ees suivantes:
\begin{enumerate}
\item Le segment orient\'e d'origine $(0,0)$ et d'extr\'emit\'e $(1,1)$,
\item Le graphe de la parabole d'\'equation $y=x^2$, du point $(0,0)$ au point $(1,1)$.
\end{enumerate}
Quelle conjecture en d\'eduisez-vous ? D\'emontrer votre affirmation.

b) Refaire la m\^eme d\'emarche avec les champs suivants :
\begin{enumerate}
\item $\vec{V}(x,y)=y\ \vec{e}_1 + x\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=(3x^2y+2x+y^3)\ \vec{e}_1 + (x^3+3xy^2-2y)\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=\cos(x)\ \vec{e}_1 + \sin(y)\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=(y+\displaystyle{\frac{1}{x}})\ \vec{e}_1 +
(x+\displaystyle{\frac{1}{y}})\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=(x+y)\ \vec{e}_1 + (x-y)\ \vec{e}_2$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}