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%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 6 \quad-\quad INTEGRALES MULTIPLES}
\end{center}
\smallskip

\begin{exo}
Calculer l'int\'egrale multiple
$$
\int_D xy \ \d x\, \d y
$$
avec $D=[0,1]\times [0,1]$.
\end{exo}

\begin{exo}
D\'eterminer l'aire de la partie du plan d\'elimit\'ee
par les courbes d'\'equation $y=x$ et $y^2 = x$.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}

\item[a)]
Calculer $\int_D (x-y) \ \d x\, \d y$,
o\`u  $D$ est la partie du plan d\'elimit\'ee par les droites
d'\'equation~:
$$
x= 0, \quad y = x+2, \quad y = -x.
$$
\item[b)]
Calculer la m\^eme int\'egrale au moyen du changement de variables
d\'efini par~:
$$
u = x+y, \qquad v = x-y.
$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $D$ le quart de disque unit\'e d\'efini par~:
$$
D = \big\{(x,y) \mid 0 \leq x, \ 0 \leq y, \ x^2 + y^2 \leq 1\big\}.
$$
Utiliser le passage en coordonn\'ees polaires pour calculer
l'int\'egrale~:
$$
\int_D (4 - x^2 - y^2) \ \d x\, \d y.
$$
\end{exo}

\begin{exo}
D\'eterminer le centre de gravit\'e d'un demi-disque homog\`ene de rayon $1$.
\end{exo}

\begin{exo}
D\'eterminer le centre de gravit\'e de la surface plane homog\`ene
d\'elimit\'ee par la parabole d'\'equation $y = 6x -x^2$ et la droite d'\'equation $y =x$.
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer la masse totale du cube $D=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$
de $\R^3$ ayant une densit\'e volumique $\mu$ donn\'ee par $\mu(x,y,z)=x^2y+xz^2$.
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer le volume de la boule $B$ de rayon $1$ de $\R^3$, en partant de l'int\'egrale $$\int_{B}1\  \d^3 \vec x$$ et en utilisant les coordonn\'ees sph\'eriques.
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer le volume du domaine $D$ d\'efini par l'intersection d'une sph\`ere de rayon $R>0$ et d'un cylindre de r\'evolution de rayon $R'>0$, avec $R'<R$, ayant pour axe un diam\`etre de la sph\`ere.
\end{exo}

\end{document}