%
%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\renewcommand{\div}{\vec{\nabla} \cdot}
\newcommand{\rot}{\vec{\nabla} \times}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\p}[1]{\frac{\partial\ }{\partial #1}}

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 5 \quad-\quad CHAMPS DE VECTEURS}
\end{center}
\smallskip

\begin{exo}
On consid\`ere les applications $f:\R^3\to\R$ et $\vec F :\R^3\to\R^3$
suffisamment diff\'erentiables sur $\R^3$. D\'emontrer les relations suivantes:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\div (f\;\vec F) = f\; \div \vec F + (\grad f)\cdot \vec F$,
\item[(b)] $\div \big(\rot \vec F\big) = 0$,
\item[(c)] $\rot\big(\rot \vec F\big) = \grad\big(\div \vec F\big) - \Delta \vec F$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\vspace{2mm}

\begin{exo}
Soit $f:\R_+\times [0,2\pi[ \to \R$ de classe
$C^2\big(\R_+\times [0,2\pi[\big)$ et soit
$\phi:\R^2 \to \R_+\times [0,2\pi[$
la transformation de coordonn\'ees cart\'esiennes en coordonn\'ees polaires
donn\'ee pour tout $(x,y) \in \R^2$ par $\phi(x,y)=(r,\theta)$, avec $r=\sqrt{x^2+y^2}$ et
$\theta= \arctan\big(\hbox{$\frac{y}{x}$}\big)$ si $x>0,y\geq 0$,
$\theta= \arctan\big(\hbox{$\frac{y}{x}$}\big)+ 2\pi$ si $x>0, y<0$, $\theta= \arctan\big(\hbox{$\frac{y}{x}$}\big)+ \pi$ si $x<0$,
$\theta= \pi/2$ si $x=0, y>0$ et $\theta = 3\pi/2$ si $x=0,y<0$.
D\'eterminer le Laplacien en coordonn\'ees polaires, c'est-\`a-dire, calculer
l'op\'erateur $\Delta_{\hbox{\tiny \rm pol}}$ satisfaisant
\begin{equation*}
(\Delta_{\hbox{\tiny \rm pol}}f) \circ \phi =
\Delta (f\circ \phi) \ .
\end{equation*}
\end{exo}
\vspace{2mm}

\begin{exo}
Soit $f:\R\longrightarrow\R$ une fonction de classe ${C}^2$ sur
$\R$ et posons $F(x,y)=f\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)$.
D\'eterminer toutes les fonctions $f$ telles que
$\Delta F(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$.
\end{exo}
\vspace{2mm}

\begin{exo} {\bf (Changement de coordonn\'ees et rep\`eres mobiles)}
\begin{enumerate}
\item
D\'eterminer le rep\`ere mobile $\{\vec e_r(r,\theta,\varphi),\vec
e_\theta(r,\theta,\varphi),\vec e_\varphi(r,\theta,\varphi)\}$
associ\'e aux coordonn\'ees sph\'eriques de $\R^3$.
\item
Exprimer le champs vectoriel
$\vec V(\vec x) = \sqrt{x_1^2+x_2^2}\ \vec e_3 - \frac{x_1x_3}{
  \sqrt{x_1^2+x_2^2}}\ \vec e_1 - \frac{x_1x_3}{
  \sqrt{x_1^2+x_2^2}}\ \vec e_2$ en coordonn\'ees sph\'eriques.
\end{enumerate}
\end{exo}
\vspace{2mm}

\begin{exo}
Repr\'esenter graphiquement des champs vectoriels d\'efinis sur $\R^2$ par :
\begin{enumerate}
\item
$\vec{V}(x,y)=\vec{e}_1+\vec{e}_2$,
\item
$\vec{V}(x,y)=x\ \vec{e}_1 + y\ \vec{e}_2$,
\item
$\vec{V}(\rho,\theta)=\rho\ \vec{e}_\theta$,
\item
$\vec{V}(\rho,\theta)=\vec{e}_\rho + \rho\ \vec{e}_\theta$.
\end{enumerate}
\noindent
M\^eme question pour les champs vectoriels d\'efinis sur $\R^3$ par \begin{enumerate}
\item
$\vec{V}(x,y,z) = x\ \vec{e}_1+2\ \vec{e}_2+\vec{e}_3$,
\item
$\vec{V}(r,\theta,\varphi)=r\ \vec{e}_\theta+r\ \vec{e}_\varphi$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\vspace{2mm}

\newpage

\begin{exo}
a) Pour quelle fonction $f:\R\to\R$ la divergence de
$\vec{V}(x,y,z) = xz\ \vec{e}_1 + y\ \vec{e}_2 + f(z)\ \vec{e}_3$ est-elle \'egale \`a $z$?

\noindent
b) Pour quelle fonction $f : \R \to \R$  a-t-on $\div \vec {V}=0$
pour les champs de vecteurs $\vec V$ suivants:
\begin{enumerate}
\item
$\vec{V}(x,y,z)= xz\  \vec{e}_1+ y\  \vec{e}_2+(f(z)-z^2/2)\ \vec{e}_3$
\item
$\vec{V}(x,y,z)= xf(y)\  \vec{e}_1- f(y)\  \vec{e}_2$
\item
$\vec{V}(x,y,z)= xf(x)\ \vec {e}_1- y\ \vec{e}_2-zf(x)\ \vec{e}_3$
\end{enumerate}
\end{exo}
\vspace{2mm}

\begin{exo}
Pour les champs de vecteurs $\vec{B}$ mentionn\'es ci-dessous,
d\'eterminer $\div \vec{B}$ et $\rot \vec{B}$:
\begin{enumerate}
\item
$\vec{B}(x,y,z) = xy^2\ \vec{e}_1 + 2x^2 yz\ \vec{e}_2 + 3 y z^2\ \vec{e}_3$
\item
$\vec{B}(x,y,z) = \sh(xyz)\ \vec{e}_1 + \ch(xyz)\ \vec{e}_2$
\item
$\vec{B}(x,y,z) = yz\ \vec{e}_1 + xz\ \vec{e}_2 +  xy\ \vec{e}_3$
\item
$\vec{B}(x,y,z) = xyz\ \vec{e}_1$
\end{enumerate}
\end{exo}
\vspace{2mm}

\begin{exo}
D\'eterminer si les champs suivants sont des champs de gradients, et si
oui, d\'eterminer leurs potentiels scalaires :
\begin{enumerate}
\item $\vec{V}(x,y)=y\ \vec{e}_1 + x\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=(3x^2y+2x+y^3)\ \vec{e}_1 + (x^3+3xy^2-2y)\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=\cos(x)\ \vec{e}_1 + \sin(y)\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=(y+\displaystyle{\frac{1}{x}})\ \vec{e}_1 +
(x+\displaystyle{\frac{1}{y}})\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y)=(x+y)\ \vec{e}_1 + (x-y)\ \vec{e}_2$,
\item $\vec{V}(x,y,z)=(x^2-yz)\ \vec{e}_1 +(y^2-zx)\ \vec{e}_2 + (z^2-xy)\ \vec{e}_3$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\vspace{2mm}

\begin{exo}
Un champ central dans $\R^3$ est d\'efini par une application $\vec V:\R^3 \to \R^3$
de la forme $\vec V(\vec x)=f(r)\vec x$, o\`u $\vec x \in \R^3$, $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ et $f$
est une application d\'erivable de $\R_+$ dans $\R$.
Montrer qu'un champ central est toujours un champ de gradient
et calculer le potentiel dont il est issu.
\end{exo}

\end{document}