%
%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amscd,amstext}
\usepackage[frenchb]{babel}

\setlength{\textheight}{26.2cm}
\setlength{\textwidth}{18cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
%\setlength{\leftmargin}{-.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1.05cm}
\setlength{\evensidemargin}{-1.05cm}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}

\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 4 \quad-\quad CALCUL DIFF\'ERENTIEL III}
\end{center}
\smallskip

\begin{exo}{\bf R\`egle de la chaine}\\
Soit $f: \R^n\to \R$ une fonction diff\'erentiable, et $\phi: \R^n \to \R^n$ une fonction \'egalement diff\'erentiable. Montrer que pour tout $j \in \{1,\dots,n\}$ on a
$$
\frac{\partial}{\partial x_j} f\big(\phi(x)\big) =
\sum_{k=1}^n \big[\partial_k f\big]\big(\phi(x)\big) \; \big[\partial_j \phi_k\big](x).
$$
Particulariser le r\'esultat pour $n = 2$ et $n=3$.

\end{exo}

\begin{exo}
On consid\`ere la fonction $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie par $f(x,y) = e^{x^2 + xy + y^2}$. D\'eterminer la s\'erie de Taylor \`a l'ordre 2 au voisinage du point $(0,0)$.
\end{exo}


\begin{exo}
Donner la partie principale du d\'eveloppement de Taylor \`a l'ordre 2 en $(0,0)$ pour les fonctions $f : {\mathcal D} \to \R$, avec $(0,0)\in \mathcal D \subset \R^2$, d\'efinies pour $(x,y)\in {\mathcal D}$ par :
$$
\begin{array}{ll}
{\mathrm{a)}}\quad f(x,y)=\dfrac{\cos x}{\cos y}, & \qquad
\quad{\mathrm{b)}}\quad f(x,y)=\dfrac{e^{\cos(x+y)}}{2+y}.
\end{array}
$$
\end{exo}

\begin{exo} {\bf (Calcul d'erreur)}  \\
Pour la fonction $f(x,y)=x^3 y + x^2 y^2 + xy^3$, calculer l'erreur
que l'on commet si on prend la valeur de $f$ au point $(1,1)$ au lieu
qu'au point $(1.01,1.01)$.
En deduire la valeur de $f$ au point $(1.01,1.01)$ approxim\'ee \`a
deux chiffres d\'ecimales.
\end{exo}


\begin{exo}
On d\'efinit~$f\colon\R^2\to\R$ par $f(x,y)=x^3+xy^2-2x^2+2$.
\begin{enumerate}
 \item V\'erifier que si~$D$ est une droite passant par~$(0,0)$, la restriction de~$f$ \`a~$D$ poss\`ede un maximum local \`a l'origine.
 \item
 Etablir si $(0,0)$ est un point de maximum local.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Pour chacune des fonctions $f: \R^2 \to \R$ suivantes, trouver et \'etudier les points
critiques. La fonction admet-elle des extrema locaux et des extrema globaux?
$$
\begin{array}{ll}
{\mathrm{a)}}\quad f(x,y)=x^2+xy+y^2+2x+3y &\qquad
{\mathrm{b)}}\quad f(x,y)=xe^y+ye^x \\
{\mathrm{c)}}\quad f(x,y)=(x-y)^2+(x+y)^3 &\qquad
{\mathrm{d)}}\quad f(x,y)=x^3+y^3+3xy \\
{\mathrm{e)}}\quad f(x,y)=x^4+y^4-(x-y)^3.
\end{array}
$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $C$ l'ensemble des points $(x,y,z)\in \R^3$ v\'erifiant $x\geq0$, $y\geq0$, $z\geq0$ et $x+y+z=1$. D\'eterminer les points de $C$ pour lesquels la distance \`a l'origine est minimale.
\end{exo}

\end{document}