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%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 3 \quad-\quad CALCUL DIFF\'ERENTIEL II}
\end{center}
\smallskip

\begin{exo} {\bf (Diff\'erentielle)} \\
Pour chacune des fonctions $f:\R^2 \to \R$ d\'efinies pour $(x,y)\in \R^2$ par
$$
\begin{array}{lll}
{\mathrm{a)}}\quad f(x,y)=x^3 y + x^2 y^2 + xy^3, &
\quad{\mathrm{b)}}\quad f(x,y)=x\sin(y)-y\sin(x),
\end{array}
$$
d\'eterminer la diff\'erentielle en tout point $(x,y)\in \R^2$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f: \R^2 \to \R$ diff\'erentiable sur $\R^2$. D\'eterminer la diff\'erentielle des fonctions $u:\R\to \R$ et $g:\R^2 \to \R$ d\'efinies par $u(x) = f(x,-x)$ et  $g(x,y) = f(y,x)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\R^2\longrightarrow\R$ une fonction, et posons
$g(x,y)=f(x^2-y^2,2xy)$.
Exprimer les d\'eriv\'ees partielles de $g$ en fonction de celles de
$f$.
\end{exo}

\begin{exo}
D\'eterminer de deux mani\`eres diff\'erentes la d\'eriv\'ee par rapport \`a $t$ de
\begin{enumerate}
\item[a)]
$f(x,y)=x^2 + 3xy + 5 y^2$\quad o\`u\quad $x=\sin t$ et $y=\cos t$,
\item[b)]
$f(x,y)=\ln (x^2 + y^2 )$\quad o\`u\quad $x=e^{-t}$ et $y=e^t$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f: \R^2 \to \R$ une fonction de classe $C^1(\R^2)$ et $y:\R\to \R$ une fonction d\'erivable. Posons $z(x) = f(x,y(x))$ pour tout $x \in \R$. Montrer que $z$ est d\'erivable et calculer $z'(x)$ en fonction des d\'eriv\'ees de $f$ et de $y$.
Appliquer la formule au cas particulier d\'efini par
$f(x,y)= x^2 + 2xy + 4 y^2$ et $y(x)=e^{3x}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ une courbe param\'etr\'ee de $\R^2$ (une application de $\R$ dans $\R^2$). Soit
$f(x,y) = e^{xy}.$ En sachant que $\gamma(0) = (1,2),$ et
$\gamma'(0) = (3,4).$ Trouver la valeur de
$\displaystyle{\left.\frac{df(\gamma(t))}{dt}\right|_{t=0}.}$

\begin{exo} {\bf (Matrice Hessienne)} \\
Calculer la matrice Hessienne au point $(x,y)$ des fonctions $f:\R^2 \to \R$ d\'efinies par :
$$
\begin{array}{lll}
{\mathrm{a)}}\quad f(x,y)=x^3 y + x^2 y^2 + xy^3, &
\quad{\mathrm{b)}}\quad f(x,y)=x\sin (y)-y\sin (x).
\end{array}
$$
\end{exo}

\begin{exo} {\bf (Equation d'onde)} \\
Soient $F$ et $G$ deux fonctions de classe $C^2$ dans $\R$ et
$c\in\R^*$. On pose $u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$. Montrer que $u$ est
une solution de l'\'equation d'onde:
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)
-c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)=0,
\qquad\mbox{pour tout $(x,t)\in\R^2$}.
$$
\end{exo}

\end{exo}


\end{document}