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%   Math2-TD2.tex  - 2012  - Ale Frabetti
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip


\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 2 \quad-\quad CALCUL DIFF\'ERENTIEL I}
\end{center}
\smallskip


\begin{exo} {\bf (D\'eriv\'ees partielles)} \\
\label{exo1}
Calculer les d\'eriv\'ees partielles premi\`eres des fonctions $f : \R^2 \to \R$ suivantes:
$$
\begin{array}{lll}
{\mathrm{a)}}\quad f(x,y) = xy^2, &
\quad{\mathrm{b)}}\quad f(x,y) = 3xy + e^y, &
\quad{\mathrm{c)}}\quad f(x,y) =y\sin(2xy + 1), \\
{\mathrm{d)}}\quad f(x,y) = e^{\sin(2x) + xy}, &
\quad{\mathrm{e)}}\quad f(x,y) = \sqrt{x^2 + \cos y + 1 }, &
\quad{\mathrm{f)}}\quad f(x,y) = \ln(x^2y^2).
\end{array}
$$
\end{exo}

\begin{exo} {\bf (Gradient)} \\
Calculer le gradient des fonctions de l'Exercice~1 aux points suivants:
$$
\begin{array}{lll}
{\mathrm{a)}}\quad (0,0), &
\quad{\mathrm{b)}}\quad (1,-1), &
\quad{\mathrm{c)}}\quad (2,1).
\end{array}
$$
\end{exo}

\begin{exo} {\bf (D\'eriv\'ee directionnelle)} \\
Trouver la d\'eriv\'ee directionnelle de la fonction $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie par $f(x,y)=xy^2$ au
point $(2,1)$ le long des vecteurs suivants:
$$
\begin{array}{lll}
{\mathrm{a)}}\quad \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}, &
\quad{\mathrm{b)}}\quad \vec{v}=\vec{i}-2\vec{j}, &
\quad{\mathrm{c)}}\quad \vec{w}=2\vec{i}-\vec{j}.
\end{array}
$$
Rappel : $\vec{i} = (1,0), \vec{j}=(0,1)$.
\end{exo}

\begin{exo}
On consid\`ere l'application $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie par
\begin{equation*}
f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{xy^3}{x^4+y^2}&
\mbox{si } (x,y)\neq(0,0)\\
0&\mbox{si } (x,y)=(0,0)
\end{array}\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que $f$ est continue sur $\R^2$.
\item Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On consid\`ere l'application $f: \R^2 \to \R$ d\'efinie par
\begin{equation*}
f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^3}{x^2+y^2}&
\mbox{si } (x,y)\neq(0,0)\\
0&\mbox{si } (x,y)=(0,0)
\end{array}\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Etudier la continuit\'e de $f$ au point $(0,0)$.
\item Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur
$\R^2\setminus\{(0,0)\}$.
\item Montrer que $f$ admet en $(0,0)$ des d\'eriv\'ees dans
toutes les directions.
\item Montrer que $f$
n'est pas de classe $C^1(\R^2)$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo} {\bf (Interpretation g\'eom\'etrique du gradient)} \\
Soit $f:\R^2\longrightarrow\R$ la fonction d\'efinie par $f(x,y)=x^2 +4y^2$.
\begin{enumerate}
\item
Calculer le gradient de $f$ au point $(x,y)$.
\item
Pour tout $k\geq 0$, d\'ecrire la ligne de niveau $L_k$ de $f$.
\item
Posons $k:= f(x_o,y_o)$, est-ce que le gradient de $f$ en $(x_o,y_o)$ est orthogonal \`a la courbe de niveau $L_k$ ? Justifier votre r\'eponse,
et donner une d\'emonstration pour $y_o\geq 0$ en utilisant la fonction
$y=g(x)$ qui a comme graphe une partie de la courbe $L_k$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}