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%   Math2-TD1.tex  - 2011  - Ale Frabetti
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newtheorem{exa}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{exa} \em}{\end{exa}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\noindent %\hspace{-1cm}
Universit\'e Claude Bernard Lyon 1 \hfill PCSI\ UE Math2

\noindent %\hspace{-1cm}
Printemps 2013 \hfill  Responsable: Johannes Kellendonk

%\noindent %\hspace{-1cm}
% \hfill  %http://math.univ-lyon1.fr/$\sim$frabetti/Math2/
%\bigskip\bigskip

\begin{center}
{\large\bf FICHE TD 1 \quad-\quad FONCTIONS DE PLUSIEURES VARIABLES}
\end{center}
\smallskip

\begin{exo} {\bf (Changement de coordonn\'ees)}
\begin{enumerate}
\item
Exprimer en coordonn\'ees polaires le point du plan donn\'e en
coordonn\'ees cartesiennes par $P\!=\!(\sqrt{3},1)$.
\item
Exprimer en coordonn\'ees cylindriques et sph\'eriques le point de l'espace
donn\'e en coordonn\'ees cart\'esiennes par $Q=(1,1,1)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo} {\bf (Topologie des ensembles)} \\
Dessiner les sous-ensembles $A$ de $\R^2$, leur fronti\`ere $\partial A$, leur int\'erieur $\stackrel{\circ}{A}$ et leur fermeture $\overline A$ dans les cas suivants :
\begin{align*}
A &= \left\{ (x,y)\in\R^2\mid\ y>x^2,\ y\leq x+1 \right\}, \\
A &= \left\{ (x,y)\in\R^2\mid\ x = y \right\}, \\
A &= \left\{ (x,y)\in\R^2\mid\ x<1, 0 <y\leq f(x) \hbox{ avec } f(x) = 0 \hbox{ si } x\leq 0  \hbox{ et } f(x)=1 \hbox{ si } x>0 \right\}.
\end{align*}
Pour chacun d'eux, dire si $A$ est ouvert, ferm\'e, born\'e ?
Justifier vos r\'eponses.
\end{exo}
\smallskip

\begin{exo} {\bf (Domaine et image)} \\
Trouver le domaine et l'image des fonctions suivantes:
$$
f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}, \qquad g(x,y)=\frac{e^{x+y}}{x-y},
\qquad h(x,y)=\ln(x+y).
$$
\end{exo}
\smallskip

\begin{exo} {\bf (Lignes de niveau)} \\
Soit $f$ une fonction de deux variables, de domaine ${\cal D}_f\subset \R^2$.
On rappelle que, pour tout $k \in \R$, l'ensemble
$L_k= \{(x,y) \in {\cal D}_f\ \mbox{tel que} \ f(x,y)=k \}$
s'appelle \textit{la ligne de niveau} $k$ de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item
Trouver les lignes de niveaux $0$, $1$, $-1$, $2$ et $3$ de la fonction d\'efinie par
$f(x,y)=\sqrt{x^2 + y^2}$.

M\^eme question avec $g(x,y)=x^2+y^2$ et $h(x,y) =\dfrac{2y}{x}$
($x \not= 0$).
\item
Pour la fonction
$f(x,y)=x-y-|x-y|$, tracer les lignes de niveau pour $k\in\R$.
Traiter s\'epar\'ement les cas $k=0$, $k>0$ et $k<0$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\smallskip

\begin{exo} {\bf (Fonctions partielles)} \\
Soit $f$ une fonction de $D \subset \R^2 $ dans $\R$ et $(a,b)$ un point
int\'erieur de $D$.
On rappelle que les fonctions \`a une variable
$$ x \mapsto f(x, b) \qquad\mbox{et}\qquad  y \mapsto f(a, y)$$
d\'efinies sur un intervalle ouvert contenant respectivement $a$ et $b$,
s'appellent \textit{fonctions partielles} associ\'ees \`a $f$
au point $(a,b)$.
Trouver les fonctions partielles aux points $(0,0)$ et $(1,2)$ de
$$
f(x,y)=\sqrt{x^2 + y^2}, \qquad  g(x,y) = xy,
\qquad h(x,y) = x^2 y -1.
$$
\end{exo}
\smallskip

\begin{exo} {\bf (Graphe)} \\
Soit $f: \R^2 \longrightarrow \R$ la fonction d\'efinie par
$f(x,y) = x^2 + 4y^2$.
Dessiner dans $\R^2$ les lignes de niveau $L_k$ pour $k \in \{0,1,4,9\}$.
Repr\'esenter graphiquement la surface $z = x^2 + 4y^2$.
\end{exo}
\smallskip

\begin{exo} {\bf (Compos\'ees)} \\
Consid\'erons les trois fonctions
\begin{align*}
& f:\R^2\longrightarrow\R,\quad f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}, \\
& g:\R\longrightarrow\R,\quad g(t) = t^4+1, \\
& h:\R^2\longrightarrow\R^2, \quad
h(\rho,\theta) = \left(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta\right) .
\end{align*}
Quelles sont les fonctions compos\'ees possibles ? Les calculer.
\end{exo}
\smallskip

\end{document}
