\documentclass[a4paper,twoside,leqno]{article}


%packages utilisés
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[pdftex,pdfborder={0 0 0}]{hyperref}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage[a]{esvect}


% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}

\theoremstyle{remark}
	\newtheorem*{rem}{Remarque}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}


%mise en page
\sloppy
\setlength{\topmargin}{-50pt}
\setlength{\evensidemargin}{0pt}
\setlength{\oddsidemargin}{0pt}
\setlength{\textwidth}{460pt}
\setlength{\textheight}{700pt}
\setlength{\parindent}{0pt}


% Informations document
\title{\vspace{-20mm} Corrigé de l'interro du 29 avril 2013}
\date{}
\author{Thomas Letendre}

\begin{document}

\maketitle

\thispagestyle{empty}
\pagestyle{empty}

% Début du texte

\begin{exo}
Les opérateurs que l'on peut appliquer à une fonction $f:\R^3 \to \R$ sont : le gradient et le laplacien.\\
Ceux que l'on peut appliquer à un champ de vecteurs $\vv{V}:\R^3 \to \R^3$ sont : la divergence, le rotationnel et le laplacien vectoriel.
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item \label{q1} Soit $\vv{V}:\R^3 \to \R^3$ un champ de vecteurs de composantes $V_x,V_y$ et $V_z$, on a :
\[\vv{\mathtt{rot}}(\vv{V}) = \vv{\nabla} \times \vv{V} = \begin{pmatrix} \deron{}{x} \\ \deron{}{y} \\ \deron{}{z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \deron{V_z}{y} - \deron{V_y}{z} \\ \deron{V_x}{z} - \deron{V_z}{x} \\ \deron{V_y}{x} - \deron{V_x}{y}\end{pmatrix}.\]
\item \label{q2} Dans le cas où $\vv{V} : (x,y,z) \mapsto (y,x,0)$, les dérivées partielles qui nous intéressent sont pour tout $(x,y,z)\in \R^3$ :
\[ \hspace{-5mm}\deron{V_x}{y}(x,y,z) = 1, \deron{V_x}{z}(x,y,z) = 0, \deron{V_y}{x}(x,y,z) = 1, \deron{V_y}{z}(x,y,z) = 0, \deron{V_z}{x}(x,y,z) = 0 \text{ et } \deron{V_z}{y}(x,y,z) = 0.\]
D'où, en appliquant la formule de la question \ref{q1} : $\vv{\mathtt{rot}}(\vv{V}) = \vv{0}$.
\item D'après la question \ref{q2} $\vv{\mathtt{rot}}(\vv{V}) = \vv{0}$, donc d'après le théorème de Poincaré, $\vv{V}$ est un champ de gradient.
\item \label{q4} Soit $f_0:\R^3 \to \R$ telle que $\vv{\mathtt{grad}}(f_0) = \vv{V}$. Alors pour tout point $(x,y,z) \in \R^3$ on a les relations suivantes.
\[\left\{\begin{array}{ccccc}\deron{f_0}{x}(x,y,z) & = & V_x(x,y,z) & = & y \\ \deron{f_0}{y}(x,y,z) & = & V_y(x,y,z) & = & x \\ \deron{f_0}{z}(x,y,z) & = & V_z(x,y,z) & = & 0 \end{array}\right.\]
\item \label{q5} D'après la troisième relation de la question \ref{q4}, $\deron{f_0}{z}$ est nulle en tout point de $\R^3$. Donc $f_0$ est indépendante de la variable $z$, ou encore, pour tout $x,y,z$ et $z' \in \R$, $f_0(x,y,z) = f_0(x,y,z')$.
\item \label{q6} Soient $x_0,y_0$ et $z_0 \in \R$. On a $f_0(x_0,y_0,z_0)= f_0(x_0,y_0,0)$ d'après la question \ref{q5}. Intégrons la première relation de la question \ref{q4} par rapport à la variable $x$, entre $0$ et $x_0$, pour $y = y_0$ fixé et $z=0$. On obtient que : \[f_0(x_0,y_0,0) = f_0(0,y_0,0) + \int_0^{x_0} \deron{f_0}{x}(t,y_0,0)dt = f_0(0,y_0,0) + \int_0^{x_0} y_0dt = f_0(0,y_0,0) + x_0y_0.\]
Définissons $g :\R \to \R$ par $g:t\mapsto f_0(0,t,0)$. Ce qui précède se réécrit alors sous la forme $f_0(x_0,y_0,z_0)=f_0(x_0,y_0,0)=g(y_0)+x_0y_0$.\\
Les réels $x_0, y_0$ et $z_0$ étant quelconques, on en déduit que : $\forall (x,y,z) \in \R^3, f_0(x,y,z) = xy + g(y)$.
\smallskip
\begin{rem}
Une autre rédaction pour obtenir l'expression de $f_0(x_0,y_0,0)$ consiste à dire que l'on primitive la première relation de la question \ref{q4} par rapport à la variable $x$, à $y=y_0$ et $z=0$ fixés. On obtient alors que pour tout $x\in \R$ $f_0(x,y_0,0) = xy_0+K_{y_0}$ où $K_{y_0} \in \R$ est la "constante" venant de la primitivation par rapport à $x$. Comme la primitivation se fait à $y =y_0$ fixé, cette "constante" dépend a priori de $y_0$. On peut alors définir $g$ par $g:y \mapsto K_y$, ce qui donne l'expression voulue.
\end{rem}

\item \label{q7}Dérivons la relation obtenue à la question \ref{q6} par rapport à la variable $y$. On obtient pour tout $(x,y,z) \in \R^3$ : $\deron{f_0}{y}(x,y,z) = x + g'(y)$. Utilisant la deuxième relation de la question \ref{q4}, on obtient $g'(y) = 0$ pour tout $y\in \R$. Donc $g$ est constante.
\item Soit $f:\R^3 \to \R$ telle que $\vv{\mathtt{grad}}(f) = \vv{V}$. En appliquant à $f$ les résultats des questions \ref{q4} à \ref{q7}, on voit que $f$ est de la forme $(x,y,z) \mapsto xy + C$ pour un certain $C \in \R$, correspondant à la valeur de la fonction constante $g$ des questions \ref{q6} et \ref{q7}.\\
Inversement, si $f$ est une fonction de la forme $(x,y,z) \mapsto xy + C$ avec $C \in \R$, alors pour tout $(x,y,z) \in \R^3$, $\vv{\mathtt{grad}}(f)(x,y,z) = (\deron{f}{x}(x,y,z),\deron{f}{y}(x,y,z),\deron{f}{z}(x,y,z)) = (y,x,0) = \vv{V}(x,y,z)$, ce qui achève la preuve.
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}