\documentclass[a4paper,twoside,leqno]{article}


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% Définition des environnements
\theoremstyle{definition}
	\newtheorem{exo}{Exercice}


% Nouvelles commandes
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\deron}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\derond}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 ^2}}
\newcommand{\deronc}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}


%mise en page
\sloppy
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% Informations document
\title{\vspace{-20mm} Interro de TD - 29 avril 2013}
\author{Durée : 20 minutes}
\date{\hspace{-32mm}\begin{tabular}{rrr}Nom :& \hspace{35mm} Prénom :& \hspace{35mm} n\textdegree \ étudiant : \end{tabular}}

\begin{document}

\maketitle

\thispagestyle{empty}
\pagestyle{empty}

% Début du texte
L'usage de tout document ou appareil électronique (calculatrice, téléphone, \dots) est interdit.\\
Le barème est donné à titre indicatif et est susceptible d'être modifié par la suite.

\begin{exo}[5 points]
Soient $f:\R^3 \to \R$ une fonction et $\vv{V}:\R^3 \to \R^3$ un champ vectoriel suffisamment réguliers (on ne se préoccupera pas ici des problèmes de régularité). Parmi les opérateurs aux dérivées partielles listés ci-dessous, quels sont ceux que l'on peut appliquer à la fonction $f$ ? Et au champ $\vv{V}$ ?\\Répondre en cochant oui ou non dans chacune des cases du tableau. (0,5 points par case)
\medskip

\begin{tabular}{l|cc|cc}
 & \multicolumn{2}{|c|}{\qquad $f:\R^3 \to \R$ fonction \qquad} & \multicolumn{2}{c}{\qquad $\vv{V}:\R^3 \to \R^3$ champ vectoriel\qquad} \\
\hline
gradient \Big($\vv{\nabla}$ ou $\vv{\mathtt{grad}}$\Big) & \quad oui $\Box$ & non $\Box$ & \qquad oui $\Box$ & non $\Box$ \\
\hline
divergence \Big($\vv{\nabla} \cdot$ ou $\mathtt{div}$\Big) & \quad oui $\Box$ & non $\Box$ & \qquad oui $\Box$ & non $\Box$ \\
\hline
rotationnel \Big($\vv{\nabla} \times \ $ ou $ \ \vv{\nabla} \wedge \ $ ou $\vv{\mathtt{rot}}$\Big) & \quad oui $\Box$ & non $\Box$ & \qquad oui $\Box$ & non $\Box$ \\
\hline
laplacien \Big($\Delta$\Big) & \quad oui $\Box$ & non $\Box$ & \qquad oui $\Box$ & non $\Box$ \\
\hline
laplacien vectoriel \Big($\vv{\Delta}$\Big) & \quad oui $\Box$ & non $\Box$ & \qquad oui $\Box$ & non $\Box$ \\
\end{tabular}
\end{exo}

\begin{exo}[15 points]
\begin{enumerate}
\item Rappeler l'expression du rotationnel d'un champ vectoriel $\vv{V} :\R^3 \to \R^3$ en fonction des dérivées partielles de ses composantes, notées $V_x, V_y$ et $V_z$. (2 points)
\vspace{60mm}
\item Soit $\vv{V}:\R^3 \to \R^3$ le champ vectoriel défini par $\vv{V} : (x,y,z) \mapsto (y,x,0)$. Calculer $\vv{\mathtt{rot}}(\vv{V})$. (3 points)
\vspace{70mm}
\item Justifier que $\vv{V}$ est un champ de gradient. (1 point)
\vspace{10mm}
\item \label{equa}Soit $f_0 :\R^3 \to \R$ une fonction, supposée suffisamment régulière, telle que $\vv{\mathtt{grad}}(f_0) = \vv{V}$. Donner l'expression des dérivées partielles de $f_0$ en tout point $(x,y,z)$ de $\R^3$. (1 point)
\vspace{50mm}
\item En déduire que $f_0$ ne dépend pas de la variable $z$. (1 point)
\vspace{10mm}
\item \label{lala}Montrer qu'il existe une fonction $g:\R \to \R$ (que l'on supposera suffisamment régulière) telle que : $\forall (x,y,z) \in \R^3, f_0(x,y,z) = xy + g(y)$. (3 points)\\
\emph{Indication :} primitiver l'une des équations de la question \ref{equa}.
\vspace{70mm}
\item Montrer que la fonction $g$ est constante. (2 points)\\
\emph{Indication :} dériver l'expression de la question \ref{lala}
\vspace{30mm}
\item Déduire des questions précédentes que les fonctions $f:\R^3 \to \R$ telles que $\vv{\mathtt{grad}}(f) = \vv{V}$ sont les fonctions de la forme $f:(x,y,z) \mapsto xy + C$ avec $C\in\R$ et seulement celles-ci. (2 points)
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}
